第一章 集合与映射

第一节 集合

1. 具有某种特性，具体或抽象的对象汇集的总体。

2. s ∈ S , y ∉ S s \in S, y \notin S s∈S,y∈/​S 代表元素s属于集合S，元素y不属于集合S。

3. 表示法分为枚举法和描述法。

4. 空集 ∅ \varnothing ∅代表没有元素的集合。

5. 子集S的所有元素都属于T，记为 S ⊆ T S \subseteq T S⊆T。若 x ∈ S x \in S x∈S，则 x ∈ T x \in T x∈T一定成立。

   • S是T的子集，但是 ∃ x ∈ T , x ∉ S \exists x \in T, x \notin S ∃x∈T,x∈/​S，则S是T的真子集，记为 S ⊂ T S \subset T S⊂T。
   • 两个集合所有元素完全相同，两个集合等价，两者互为子集，记为S=T。

6. 集合的运算关系：

   1. 并集： S ∪ T ↔ { x ∣ x ∈ S ∨ x ∈ T } S \cup T \leftrightarrow\{x \mid x \in S \vee x \in T\} S∪T↔{x∣x∈S∨x∈T}；

   2. 交集： S ∩ T ↔ { x ∣ x ∈ S ∧ x ∈ T } S \cap T \leftrightarrow\{x \mid x \in S \wedge x \in T\} S∩T↔{x∣x∈S∧x∈T}；

   3. 交集和并集满足交换律、结合律、分配率、对偶律（德摩根律）；

   4. 差集： S − T ( S ∣ T ) ↔ { x ∣ x ∈ S ∨ x ∉ T } S-T(S \mid T) \leftrightarrow\{x \mid x \in S \vee x \notin T\} S−T(S∣T)↔{x∣x∈S∨x∈/​T}；

   5. 定义全集X，X中子集S的补集则是 S X C = { x ∈ X ∧ x ∉ S } S_{X}^{C}=\{x \in X \wedge x \notin S\} SXC​={x∈X∧x∈/​S}，也满足对偶律。

7. 有限集与无限集

   • 有限个数的集合是有限集。
   • 无限集中元素可以按某种规律列举的集合，归类为可数集。
   • 任何无限集一定包含可数的子集。

8. 笛卡尔乘积： x ∈ A , y ∈ B x \in A, y \in B x∈A,y∈B，取出有序数对 ( x , y ) (x, y) (x,y)构成集合A与B的笛卡尔积 A × B A \times B A×B。

   • 数域（实数域、复数域或其他）的笛卡尔乘积可以用于表示坐标系，构成二维、三维或高维空间。

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第二节 映射与函数

1. 设 x ∈ X , y ∈ Y x \in X, y \in Y x∈X,y∈Y，在设定的规则f下，集合X中的任意一个元素x，都有唯一的集合Y的元素y与之对应，规则f就是集合X到Y的一个映射。

2. y称为映射f的像，x则是映射f的一个原像， D f = X D_{f}=X Df​=X——定义域， R f ⊂ Y R_{f} \subset Y Rf​⊂Y——值域，映射的像必须唯一，对原像（逆像）不做要求。

3. 单射：设f是X到Y的唯一映射，若原像（逆像）也具有唯一性，数学表达 x 1 ≠ x 2 ⇔ f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) x_{1} \neq x_{2} \Leftrightarrow f \left(x_{1} \right) \neq f \left(x_{2} \right) x1​​=x2​⇔f(x1​)​=f(x2​)称为单射。

4. 满射：值域 R f = Y R_{f}=Y Rf​=Y,称为满射。

5. 既是满射又是单射的特殊情况是双射（一一对应）。

6. 若 f : x → y f: x \to y f:x→y是单射，则对 ∀ y ∈ R f \forall y \in R_{f} ∀y∈Rf​，有唯一的 x ∈ X x \in X x∈X与y对应，就是一个逆映射 f − 1 f^{-1} f−1。

7. 复合映射：有映射 g : x → u 1 , f : u 2 → y g: x \to u_{1}, f: u_{2} \to y g:x→u1​,f:u2​→y若满足 R f ⊂ D f R_{f} \subset D_{f} Rf​⊂Df​，则可以构造f到g的复合映射 f ∘ g : x → y = f ( g ( x ) ) f \circ g: x \to y=f(g(x)) f∘g:x→y=f(g(x))。

8. f − 1 ∘ f = x , f ∘ f − 1 = R f f^{-1} \circ f=x, f \circ f^{-1}=R_{f} f−1∘f=x,f∘f−1=Rf​。

9. 从数集到数集的映射称为函数。

10. 基本初等函数：

    1. 常函数
    2. 幂函数
    3. 指数函数
    4. 对数函数
    5. 三角函数
    6. 反三角函数
    7. 初等函数由基本初等函数通过有限次四则运算与复合运算耦合得到。

11. 自然定义域是自变量的最大的取值范围。（如果表达式省略定义域，视为默认的自然定义域。）

12. 隐函数：表示方法为 F ( x , y , … ) = 0 F(x, y, \ldots)=0 F(x,y,…)=0。（部分此类方程不符合函数定义，也就是一对多对应关系，必须要分割因变量的值域。）

13. 参数方程表示的函数关系：将自变量和因变量都表示为中间变量的函数。

14. 函数具有的性质：

    1. 单调性： ∀ x 1 , x 2 ∈ D x , x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) \forall x_{1}, x_{2} \in D_{x}, x_{1}<x_{2} \Rightarrow f\left(x_{1}\right) \leq f\left(x_{2}\right) ∀x1​,x2​∈Dx​,x1​<x2​⇒f(x1​)≤f(x2​)——定义域上单调递增， ∀ x 1 , x 2 ∈ D x , x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 ) \forall x_{1}, x_{2} \in D_{x}, x_{1}<x_{2} \Rightarrow f\left(x_{1}\right) \geq f\left(x_{2}\right) ∀x1​,x2​∈Dx​,x1​<x2​⇒f(x1​)≥f(x2​)——定义域上单调递减。（严格单调的情况下，等号不成立。）
    2. 有界性： ∃ m , M  使得  m ≥ f ( x ) ≤ M \exists m, M \text { 使得 } m \geq f(x) \leq M ∃m,M 使得 m≥f(x)≤M，m为上界，M为下界。也可以表示为： ∣ f ( x ) ∣ ≤ X ( X > 0 ) |f(x)| \leq X(X>0) ∣f(x)∣≤X(X>0)。
    3. 奇偶性：偶函数——关于y轴轴对称， f ( − x ) = f ( x ) f(-x)=f(x) f(−x)=f(x)；奇函数——关于原点中心对称， ( − x ) = − f ( x ) (-x)=-f(x) (−x)=−f(x)。
    4. 周期性： x ∈ D X , x + T ∈ D X x \in D_{X}, x+T \in D_{X} x∈DX​,x+T∈DX​，若满足 f ( x ) = f ( x + T ) f(x)=f(x+T) f(x)=f(x+T)，且T是正数，则称T是函数的一个周期，部分周期函数具有最小周期。

15. 重要不等式

    1. 三角不等式 ∥ a ∣ − ∣ b ∣ ∣ ≤ ∣ a ± b ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣ \| a|-| b|| \leq|a \pm b| \leq|a|+|b| ∥a∣−∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
    2. 平均值不等式 H n = n ∑ i = 1 n 1 x i = n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n G n = ∏ i = 1 n x i n = x 1 x 2 ⋯ x n n A n = 1 n ∑ i = 1 n x i = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n Q n = ∑ i = 1 n x i 2 = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 n H n ≤ G n ≤ A n ≤ Q n \begin{array}{c} H_{n}=\frac{n}{\sum \limits_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}}= \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+ \frac{1}{x_{2}}+ \cdots + \frac{1}{x_{n}}} \\ G_{n}=\sqrt[n]{\prod \limits_{i=1}^{n}x_{i}}= \sqrt[n]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}} \\ A_{n}=\frac{1}{n}\sum \limits_{i=1}^{n}x_{i}=\frac{x_{1}+ x_{2}+ \cdots + x_{n}}{n} \\ Q_{n}=\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}= \sqrt{\frac{x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ \cdots + x_{n}^{2}}{n}} \\ H_{n}\leq G_{n}\leq A_{n}\leq Q_{n} \end{array} Hn​=i=1∑n​xi​1​n​=x1​1​+x2​1​+⋯+xn​1​n​Gn​=ni=1∏n​xi​ ​=nx1​x2​⋯xn​ ​An​=n1​i=1∑n​xi​=nx1​+x2​+⋯+xn​​Qn​=i=1∑n​xi2​ ​=nx12​+x22​+⋯+xn2​​ ​Hn​≤Gn​≤An​≤Qn​​​

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第二章 数列极限

第一节 实数系的连续性

1. 稠密性：对于任意小的数轴上的区间，必定能包含有理数。（不代表数轴能被有理数填满）

2. 加入无理数扩充数系，得到实数系，具有连续性。

3. 最大数与最小数：

   • S ⊂ R S\subset \mathbb{R} S⊂R，其中S非空集，若S是有限集，则S必有最大数与最小数，对于S是无限集的情况不一定成立。
   • 最大数： ξ ∈ S , ∀ x ∈ S  使得  x ≤ ξ , ξ = max ⁡ S \xi \in S, \forall x \in S \text { 使得 } x \leq \xi, \xi=\max S ξ∈S,∀x∈S 使得 x≤ξ,ξ=maxS。
   • 最小数： η ∈ S , ∀ x ∈ S  使得  x ≥ η , η = min ⁡ S \eta \in S, \forall x \in S \text { 使得 } x \geq \eta, \eta=\min S η∈S,∀x∈S 使得 x≥η,η=minS。

4. 上确界与下确界：

   • S ⊂ R S \subset \mathbb{R} S⊂R，其中S非空集，若 ∃ M ∈ R  使得  ∀ x ∈ S , ∃ x ≤ M \exists M \in \mathbb{R} \text { 使得 } \forall x \in S, \exists x \leq M ∃M∈R 使得 ∀x∈S,∃x≤M，M是S的一个上界。
   • U是S的上界的集合，U无最大数，但必定有最小数 β \beta β， β = sup ⁡ S \beta=\sup S β=supS称为上确界。
   • S ⊂ R S \subset \mathbb{R} S⊂R，其中S非空集，若 ∃ m ∈ R  使得  ∀ x ∈ S , ∃ x ≥ m \exists m \in \mathbb{R} \text { 使得 } \forall x \in S, \exists x \geq m ∃m∈R 使得 ∀x∈S,∃x≥m，m是S的一个下界。
   • L是S的下界的集合，L无最小数，但必定有最大数 α \alpha α， α = inf ⁡ S \alpha=\inf S α=infS称为下确界。

5. 确界存在定理（实数系连续定理）

   • 非空有上界的实数子集必有上确界；
   • 非空有下界的实数子集必有下确界。
   • 有理数不满足该定理。

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第二节 数列极限

1. 数列：按正确编号排列的数据。

2. 数列极限的定义：对于数列 { x n } , a ∈ R \{x_n\},a\in \mathbb{R} {xn​},a∈R，若对于 ∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ Z ， 使 得 n > N 时 , ∣ x n − a ∣ < ϵ 成 立 \forall \epsilon >0,\exists N\in Z，使得n>N时,|x_n-a|<\epsilon成立 ∀ϵ>0,∃N∈Z，使得n>N时,∣xn​−a∣<ϵ成立。若满足以上条件，数列收敛，极限 lim ⁡ n → ∞ { x n } = a \lim_{n \to \infty} \{ x_n \} =a limn→∞​{xn​}=a，若a不存在，数列发散。

3. 以0为极限的数列称为无穷小量， lim ⁡ n → ∞ { x n } = a ⇔ lim ⁡ n → ∞ { x n − a } = 0 \lim_{n \to \infty} \{ x_n \} =a \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \{ x_n -a \} =0 limn→∞​{xn​}=a⇔limn→∞​{xn​−a}=0。

4. 性质：

   1. 唯一性： lim ⁡ n → ∞ { x n } = a , lim ⁡ n → ∞ { x n } = b ⇒ a = b \lim_{n \to \infty} \{ x_n \} =a,\lim_{n \to \infty} \{ x_n \} =b\Rightarrow a=b limn→∞​{xn​}=a,limn→∞​{xn​}=b⇒a=b。

   2. 数列有界性：

      • 对于数列 { x n } \{x_n\} {xn​},若 ∃ M ∈ R \exists M\in \mathbb{R} ∃M∈R,使得 ∀ x ∈ N + \forall x\in N_+ ∀x∈N+​,一定成立,则M是 { x n } \{x_n\} {xn​}的一个上界,或者 { x n } \{x_n\} {xn​}必定有上界。

      • 同理,数列 { x n } \{x_n\} {xn​},若 ∃ m ∈ R \exists m\in \mathbb{R} ∃m∈R,使得 ∀ x ∈ N + , x n ≥ m \forall x\in N_+,x_n\ge m ∀x∈N+​,xn​≥m一定成立,则m是 { x n } \{x_n\} {xn​}的一个下界,或者 { x n } \{x_n\} {xn​}必定有下界。

      • 定理：收敛数列必定有界。

   3. 数列保序性：对于数列 { x n } , { y n } , lim ⁡ n → ∞ a n = a , lim ⁡ n → ∞ b n = b , a < b , 所 以 ∃ N ∈ N + , ∀ n > N , x n < y n 成 立 \{x_n\},\{y_n\},\lim_{n\to \infty} a_n=a,\lim_{n\to \infty} b_n=b,a<b,所以\exists N\in N_+,\forall n>N,x_n<y_n成立 {xn​},{yn​},limn→∞​an​=a,limn→∞​bn​=b,a<b,所以∃N∈N+​,∀n>N,xn​<yn​成立。

      • 命题：对于数列 { x n } , { y n } , lim ⁡ n → ∞ a n = a , lim ⁡ n → ∞ b n = b , a < b , 若 ∃ N ∈ N + , ∀ n > N , x n ≤ y n , 则 a ≤ b \{x_n\},\{y_n\},\lim_{n\to \infty} a_n=a,\lim_{n\to \infty} b_n=b,a<b,若\exists N\in N_+,\forall n>N,x_n\le y_n,则a\le b {xn​},{yn​},limn→∞​an​=a,limn→∞​bn​=b,a<b,若∃N∈N+​,∀n>N,xn​≤yn​,则a≤b。
      • 令命题中的 { x n } = 0 , { y n } = b ≠ 0 \{x_n\}=0,\{y_n\}=b\neq 0 {xn​}=0,{yn​}=b​=0，可以由命题推出满足 ∃ N ∈ N + , ∀ n > N , 则 ∣ y n ∣ > b 2 > 0 \exists N\in N_+,\forall n>N,则|y_n|>\frac{b}{2}>0 ∃N∈N+​,∀n>N,则∣yn​∣>2b​>0。

   4. 数列的夹逼定理：对于数列 { x n } , { y n } , { z n } , ∃ N ∈ N + , ∀ n > N , x n ≤ y n ≤ z n , 且 lim ⁡ n → ∞ x n = lim ⁡ n → ∞ z n = a , 所 以 lim ⁡ n → ∞ y n = a \{x_n\},\{y_n\},\{z_n\},\exists N\in N_+,\forall n>N,x_n\le y_n\le z_n,且\lim_{n\to \infty} x_n=\lim_{n\to \infty} z_n=a,所以\lim_{n\to \infty} y_n=a {xn​},{yn​},{zn​},∃N∈N+​,∀n>N,xn​≤yn​≤zn​,且limn→∞​xn​=limn→∞​zn​=a,所以limn→∞​yn​=a。

   5. 数列极限的四则运算：

      • lim ⁡ n → ∞ x n = a , lim ⁡ n → ∞ y n = b \lim_{n\to \infty} x_n=a,\lim_{n\to \infty} y_n=b limn→∞​xn​=a,limn→∞​yn​=b。
      • lim ⁡ n → ∞ ( α x n + β y n ) = α a + β b \lim_{n\to \infty} (\alpha x_n+\beta y_n)=\alpha a+\beta b limn→∞​(αxn​+βyn​)=αa+βb
      • lim ⁡ n → ∞ ( x n × y n ) = a × b \lim_{n\to \infty} (x_n \times y_n)=a \times b limn→∞​(xn​×yn​)=a×b
      • lim ⁡ n → ∞ ( x n y n ) = a b \lim_{n\to \infty} ( \frac{x_n}{y_n})=\frac{a}{b} limn→∞​(yn​xn​​)=ba​

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第三节 无穷大量

1. 无穷大量定义：对于数列 { x n } , a ∈ R \{x_n\},a\in \mathbb{R} {xn​},a∈R，若对于 ∀ G > 0 , ∃ N ∈ Z , 使 得 n > N 时 , ∣ x n ∣ > G 成 立 \forall G >0,\exists N\in Z,使得n>N时,|x_n|> G成立 ∀G>0,∃N∈Z,使得n>N时,∣xn​∣>G成立。

2. 极限为无穷大的数列为无穷大量（正、负、不定号），极限为零的数列为无穷小量，两者互为倒数（充要条件）。

3. 设 x n x_{n} xn​是无穷大量， y n y_{n} yn​满足 ∃ N , 使 得 n > N 时 , ∣ y n ∣ ≥ δ > 0 \exists N,使得n>N时,|y_n| \ge \delta > 0 ∃N,使得n>N时,∣yn​∣≥δ>0，则 { x n y n } \{x_{n}y_{n}\} {xn​yn​}是无穷大量。

   1. 无穷小量与有界量的乘积仍然是无穷小量。
   2. 无穷大量乘以或除以非零常数后仍然是无穷大量。

4. 无穷大量的运算：

   1. ( + ∞ ) + ( + ∞ ) = ( + ∞ ) (+\infty)+(+\infty)=(+\infty) (+∞)+(+∞)=(+∞)
   2. ( + ∞ ) − ( − ∞ ) = ( + ∞ ) (+\infty)-(-\infty)=(+\infty) (+∞)−(−∞)=(+∞)
   3. ( ∞ ) ± k = ( ∞ ) ( k  是有界量  ) (\infty) \pm k=(\infty)(k \text { 是有界量 }) (∞)±k=(∞)(k 是有界量 )
   4. ( + ∞ ) × ( + ∞ ) = ( + ∞ ) (+\infty) \times(+\infty)=(+\infty) (+∞)×(+∞)=(+∞)
   5. ( − ∞ ) × ( + ∞ ) = ( − ∞ ) (-\infty) \times(+\infty)=(-\infty) (−∞)×(+∞)=(−∞)

5. 与之相反的待定型：

   1. ( + ∞ ) + ( − ∞ ) (+\infty)+(-\infty) (+∞)+(−∞)
   2. ( + ∞ ) − ( + ∞ ) (+\infty)-(+\infty) (+∞)−(+∞)
   3. ( ∞ ) + ( ∞ ) (\infty)+(\infty) (∞)+(∞)
   4. 0 × ∞ 0 \times \infty 0×∞
   5. 0 0 \frac{0}{0} 00​
   6. ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞​

6. 数列单调性

   1. 有数列 { x n } , ∀ n ∈ N + , x n ≤ x n + 1 \left\{x_{n}\right\}, \forall n \in N_{+}, x_{n} \leq x_{n+1} {xn​},∀n∈N+​,xn​≤xn+1​，则 { x n } \left \{ x_{n} \right \} {xn​}单调递增，若等号不成立时仍然能满足条件，则称为严格单调递增。
   2. 单调递减和严格单调递减定义同理。

7. Stolz定理：若 { y n } \left \{ y_{n} \right \} {yn​}是严格单调递增数列，且 lim ⁡ n → ∞ { y n } = + ∞ \lim _{n \rightarrow \infty}\left\{y_{n}\right\}=+\infty limn→∞​{yn​}=+∞，若 lim ⁡ n → ∞ x n − x n − 1 y n − y n − 1 = a ( a  是有限量或  + ∞  或  − ∞ ) \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}=a(a \text { 是有限量或 }+\infty \text { 或 }-\infty) limn→∞​yn​−yn−1​xn​−xn−1​​=a(a 是有限量或 +∞ 或 −∞)，则 lim ⁡ n → ∞ x n y n = a \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=a limn→∞​yn​xn​​=a。

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第四节 收敛准则

1. 单调有界数列必定收敛。
   • 定理意义在于：可以不需要事先确定极限，便可以判断数列是否收敛。