题目

传送门。

算法

以下描述都举这个例子：\(x\)是\(11\)，\(y\)是\(5\)。

算法1

把\(x\)和\(y\)化成二进制，最多\(10\)位，那么\(x=1011_2\),\(y=0101_2\)。比较它们不同位，把不同位最低位（最大是\(9\)）和\(x\)是多少告诉B，上面的例子要告诉B：第\(2\)位不同，\(x\)第二位为\(1\)。那么，\(H_{max}=9*2=18\)。

算法2

仍化成二进制，这次告诉B的是：不同位且\(x\)的那一位为\(0\)的最低位，如果没有，容易知道\(x\)的\(0\)的个数不等于\(y\)的\(0\)的个数，那么这里把\(x\)的\(0\)的个数和\(x\)的\(1\)的个数取最小值（最大是\(5\)）告诉B。那么\(H_{max}=10 +5=15\)。

算法3

对于每对\((x,y)\)，A都要说出一个\(H\)，那么就可以把每对\((x,y)\)分为若干组，使得在同一组（看作集合\(S\)）内这种情况不会发生：存在\(a,b,c\in S\)，有\((a,b)\)和\((c,a)\)。

好吧，怎样分组我还真不知道。

算法4——解答

前面都是我乱想的，其实算法3是从A出发，解答是从B出发：对于每对\((q,H)\)，B都要说yes或no。那么设集合\(S_q={H_1,H_2,...H_m}\)，如果\(H\in S_q\)那么就回答yes，否则no。

对于A来说，如果有\(x,y\)，那么他可以告诉B：\(\forall H \in S_x \setminus S_y\)，这样子，我们就需要保证任意集合没有包含关系。最佳的选择是，从\(12\)个元素里任意选\(6\)个，每种选法作为一个集合，那么我们就可以生成\(C_{12}^6=926>920=N\)个集合了。

想法——结合算法3&算法4

其实算法3和算法4是等价的，只不过算法3应该如何分组我想不出来。

如果算法3的分组方案十分困难，那么就可以出一道很难的题了（2333）：这需要考察选出问题转化的能力。

对于\(N=6\)的情况，依照算法4推出算法3的一种分组方案：

行是\(x\)的值，列是\(y\)的值，格子的值是\((x,y)\)属于哪一组。

希望有高人指点一二：按照算法3的思路应该如何分组？