1        $$\beex \bea E\mbox{ 是开集}&\lra E^o=E\\        &\lra \forall\ P_0\in E,\ \exists\ U(P_0)\subset E.        \eea        \eeex$$    

   2        $$\beex \bea E\mbox{ 是闭集}&\lra    E'\subset E\\    &\lra E^-=E\\    &\lra \mbox{若 }E\ni P_n\to P_0,\mbox{ 则 }P_0\in E.        \eea        \eeex$$    

   3 对 $E\subset \bbR^n$, $E^o$ 是开集, $E',E^-$ 是闭集.    

   

   4 (开集、闭集的对偶性):        $$\bex        E\mbox{ 是开 (闭) 集}\lra E^c\mbox{ 是闭 (开) 集}.        \eex$$        证明: 设 $E$ 是开集, 往证 $E^c$ 是闭集: $E^{c-}=E^{oc}=E^c$.    

       设 $E$ 是闭集, 往证 $E^c$ 是开集: $E^{co}=E^{-c}=E^c$.    

   

   

   5 任意多个开集之并是开集, 有限多个开集之交是开集;    

       任意多个闭集之交是闭集, 有限多个闭集之并是闭集.    

       证明: 设 $\sed{E_\lambda}_{\lambda\in \vLa}$ 是开集族, 往证 $\dps{\cup_{\lambda\in \vLa}E_\lambda}$ 是开集:        $$\beex \bea P_0\in \cup_{\lambda\in \vLa}E_\lambda        &\ra \exists\ \lambda_0\in \vLa,\st P_0\in E_{\lambda_0}\\        &\ra        \exists\ U(P_0)\subset E_{\lambda_0}\subset \cup_{\lambda\in \vLa}E_\lambda.        \eea        \eeex$$    

       设 $\sed{E_i}_{i=1}^n$ 是开集, 往证 $\dps{\cap_{i=1}^m E_i}$ 是开集:        $$\beex \bea P_0\in \cap_{i=1}^m E_i        &\ra \forall\ i,\ P_0\in E_i\\        &\ra \forall\ i,\ \exists\ U(P_0,\delta_i)\subset E_i\\        &\ra U(P_0,\delta)\subset \cap_{i=1}^m E_i\quad\sex{\delta=\min \delta_i}.        \eea        \eeex$$    

       另外两个直接是 De Morgan 公式的推论.    

   

   6 例:        $$\bex        \cap_{n=1}^\infty\sex{a-\frac{1}{n},b+\frac{1}{n}}=[a,b],\quad \cup_{n=1}^\infty\sez{a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n}}=(a,b).        \eex$$    

   

   7 (正规性) 设两闭集 $F_1,F_2$ 不交, 则存在开集 $O_1\supset F_1, O_2\supset F_2$, 使得 

    $O_1\cap O_2=\vno$.    

   

   8 思考: 两闭集 $F_1,F_2$ 不交, 能否推出 $d(F_1,F_2)=0$?    

       答案: 不能! 比如 $\bbR^2$ 中的两个闭集:    $$\bex    F_1=\sed{(x,0);x\in\bbR},\quad F_2=\sed{(x,e^x);x\in\bbR}.    \eex$$    

   

   9        $$\beex \bea E\mbox{ 是紧集}&\lra \sex{E\subset \cup_{\lambda\in \vLa}O_\lambda\ra E\subset \cup_{i=1}^m O_i}\\        &\lra E\mbox{ 是有界闭集}.        \eea        \eeex$$        证明: $\la$ Heine-Borel 有限覆盖定理.    

           $\ra$ $E$ 有界:        $$\bex        E\subset \cup_{P\in M}U(P,1)\ra         E\subset U(P_1,1)\cup\cdots\cup U(P_m,1).        \eex$$

        $E$ 是闭集:        $$\beex \bea P_0\in E^c&\ra \forall\ P\in E,\ \delta_P=d(P,P_0)>0\\        &\ra E\subset \cup_{P\in M}U\sex{P,\frac{\delta_P}{2}}\\        &\ra E\subset U\sex{P_1,\frac{\delta_{P_1}}{2}}\cup        \cdots\cup U\sex{P_m,\frac{\delta_{P_m}}{2}}\\        &\ra U\sex{P,\delta}\subset M^c\quad\sex{\delta=\frac{1}{2}\min \delta_{P_i}}.        \eea        \eeex$$    

   

   10    $$\beex \bea E\mbox{ 是自密集 (dense-in-itself)}        &\lra E\subset E'\\        &\lra E\mbox{ 没有孤立点};        \eea        \eeex$$        $$\beex \bea E\mbox{ 是完备集 (complete set)}&\lra E=E'\\        &\lra E\mbox{ 是自密闭集}.        \eea        \eeex$$            (1) 例: $\vno$ 是自密集, 也是完备集; 

        在 $\bbR$ 中, $\bbQ$ 是自密集, $[a,b]$ 和 $\bbR$ 是完备集.            

   11 作业: Page 51, T 7.