题意:
重排数组,使得 \(\sum \limits _{i=1}^n \gcd (a_1,a_2,\cdots a_i)\) 最大。输出最大值。
\(n\le 1e5,1\le a_i \le 5e6\)
思路:
\(dp[x]\) 表示以 \(x\) 为第一个数的最大值。那么 \(dp[x]\) 和 \(dp[y]\)(\(y\) 是 \(x\) 的因子)之间有什么关系呢?对于所有 \(x\) 的倍数和所有 \(y\) 的倍数,把所有 \(x\) 的倍数放在前面,把是 \(y\) 的倍数但不是 \(x\) 的倍数的数放在后面是最优的,即形如 \(x,2x,3x,\cdots,nx,y,2y,3y,\cdots ,my\) 。
记 \(S_x\) 为所有 \(x\) 的倍数的集合, \(S_y\) 为所有 \(y\) 的倍数的集合,则 \(S_x\subset S_y\)。那么 \(dp[x]=dp[y] + |S_x|(x- y)\)
实际跑了3500ms,勉强能过。。。
const int N = 5e6 + 5;
ll n, cnt[N], dp[N];
signed main()
{
cin >> n;
for(int i = 1, x; i <= n; i++)
{
cin >> x;
cnt[x]++;
}
for(int i = 1; i < N; i++)
for(int j = i + i; j < N; j += i)
cnt[i] += cnt[j];
dp[1] = n;
for(int i = 1; i < N; i++)
for(int j = i + i; j < N; j += i)
dp[j] = max(dp[j], dp[i] + cnt[j] * (j - i));
cout << *max_element(dp + 1, dp + N);
return 0;
}