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一、模型介绍
层次分析法的一些局限性：
（1）评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大。
（2）若决策层中指标的数据是已知的，那么我们无法利用数据来使得评价的更加准确。
开始举例：
小明同宿舍共有四名同学，他们第一学期的高数成绩如下表所示：
姓名 成绩
小明 89
小王 60
小张 74
花花 99请你为这四名同学进行评分，该评分能合理的描述其高数成绩的高低。
逐步解决问题的过程：
1、先类比上一讲层次分析法中要求的那个权重
该想法看上去是不合理的。
因为可以随便修改成绩，只要保证排名不变，那么评分就不会改变！
2、那么比较好的做法是什么呢？
最高成绩max ： 99
最低成绩min ： 60
构造计算评分的公式：
这时候就得到下表：
这里要解释三点：
（1）比较的对象一般要远大于两个。（例如比较一个班级的成绩）
（2）比较的指标也往往不只是一个方面的，例如成绩、工时数、课外竞赛得分等。
（3）有很多指标不存在理论上的最大值和最小值，如衡量经济增长水平的指标：GDP增速。
这种做法明显较为妥当！
现在我们将问题拓展一下：增加指标个数。
新增加了一个指标，现在要综合评价四位同学，并为他们进行评分。
解释：
成绩是越高（大）越好，这样的指标称为极大型指标（效益型指标）。
与他人争吵的次数越少（越小）越好，这样的指标称为极小型指标（成本型指标）。
逐步解决拓展问题的过程：
1、统一指标类型
将所有的指标转化为极大型称为指标正向化（最常用）。
极小型指标转换为极大型指标的公式：max - x
2、标准化处理
为了消去不同指标量纲的影响，需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理。
标准化处理的计算公式：
代码：
X = [89,1; 60,3; 74,2; 99,0]
[n , m] = size(X)
X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1)
那么如何计算得分呢？
类比只有一个指标计算得分：
具体是如下图处理：
X = [89,1;60,3;74,2;99,0]
[n , m] = size(X);
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5,n,1);
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5 %D+向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5 %D-向量得：
二、模型总结
1、将原始矩阵正向化
最常见的四种指标：
所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标。（转换的函数形式可以不唯一哦~ ）
（1）极小型指标 → 极大型指标
极小型指标转换为极大型指标的公式：max - x
如果所有的元素均为正数，那么也可以使用 1 / x
注意：正向化的公式不唯一，大家也可以结合自己的数据进行适当的修改。
（2）中间型指标 → 极大型指标
中间型指标：指标值既不要太大也不要太小，取某特定值最好（如水质量评估 PH 值）
注意：正向化的公式不唯一，大家也可以结合自己的数据进行适当的修改。
（3）区间型指标 → 极大型指标
区间型指标：指标值落在某个区间内最好，例如人的体温在36°～37°这个区间比较好。
注意：正向化的公式不唯一，大家也可以结合自己的数据进行适当的修改。
2、正向化矩阵标准化
标准化的目的是消除不同指标量纲的影响。
注意：标准化的方法有很多种，其主要目的就是去除量纲的影响，未来我们还可能见到更多种的标准化方法，例如：(x‐x的均值)/x的标准差；具体选用哪一种标准化的方法在多数情况下并没有很大的限制，这里我们采用的是前人的论文中用的比较多的一种标准化方法。