第一讲目录
1.Large-scale 3D reconstruction（大规模三维重建）
一、3D视觉与应用介绍
3D 视觉定义
三维视觉是计算机视觉中的一个子领域，它的目的有两个：建模和重建。
所谓的建模是指理解多视角图像中的相互之间几何关系，或者图像和三维世界的几何关系。
重建指的是图像或者深度传感器中重建三维信息（形状和纹理）。
而对合成三维内容的生成不属于三维视觉，它属于计算机图形学。
3D 视觉应用
1.Large-scale 3D reconstruction（大规模三维重建）
2.Motion capture(动作捕捉)
从多角度视频中重建
3.Augmented reality（增强现实）
二、投影几何
1.投影变换定义
物体从3D空间转换到图像空间的变换，叫做投影变换。
在投影变换中会改变的几何性质：
- 长度
- 角度
- 距离比
在投影变换中保持不变的几何性质：
- 直线在变换后依然是直线，共线性质也保持不变
- 交比保持不变
交比是什么意思？
交比定义为：对于共线的四个点A、B、C、D，它们的交比(A,B; C,D)可以定义为：
（A,B ; C,D）= =
它们在投影变换下保持不变，即：
2.投影几何分类
（1）2D投影几何
可以消除图像中的投影扭曲、可以做图像拼接。
（2）3D投影几何
对相机投影进行建模用来进行三维重建。矫正和自动校正都可以。
三.2D投影几何以及变换
1、2D投影几何应用
投影扭曲消除
图像拼接
2、2D投影平面
图像平面内一个点在投影空间内是一条射线，比如图像平面点（x, y)可以用一个射线（sx, sy, s）来表示。因此射线上所有点是等效的：（x, y, 1） (sx, sy, s)。
3、2D投影中的点
数学符号表示二维投影空间（即投影平面）
- 点在二维欧式空间
，也就是卡式坐标为：
- 点在二维投影空间
中的表示为：
- 对于二维投影空间
,
,当且仅当
,
时就称这两个点等效。
- 二维欧式空间
二维投影空间
- 二维投影空间
对于的情况，表示在二维投影空间内的点，在二维欧式空间内没有等效点，它表示无穷远处的点。
4、 2D投影中的直线
（1）2D投影中直线的定义：
对于二维欧式空间内一点
, 对于穿过该点的直线方程我们有：
如果我们令,
,那么我们有：
那么就表示2D投影空间
内的一条直线
- 等效表达：对于
,
, 即
与
表示同一条直线。
- 无穷远点：对于直线
。而对于所有
的点，它们均位于无穷远处，被称为理想点（ideal point）。而直线的的理想点，也称为该直线的方向向量。
（2）二维投影平面的直线相交
对于两条直线, 它们的交点
为：
其中表示叉积。
- 两条平行线的交点：对于两条平行线
，它们的交点
为无穷远点
- 经过两点的直线：对于经过点
和点
的直线，它的表达式可以写成
。
（3）二维投影平面的点与直线对偶性质
对于二维投影几何中的任何定理，都有一个相应的对偶定理，它可以通过互换原定理中点和直线的作用而导出。例如和
，过两点的直线与过两直线的点是对偶的。
（4）无穷远处的直线
它满足， 而
表示无穷远的点，即无穷远的直线由无穷远的点组成。
（5）二次曲线（conic应该翻译成二次曲线）
二次曲线顾名思义，由平面上的二阶方程描述。在欧式几何中，二次曲线有三种主要类型：双曲线、椭圆、抛物线。它们都可以用下面的二次曲线方程表示：
考虑如下的对称矩阵：
对于, 二次曲线可以表示为：
- 等效表示：对于
, 如果有
, 那么我们称
等效。
- 对偶二次曲线：上面的二次曲线的定义是关于点的方程，所以二次曲线
也叫做点二次曲线。根据上面提到的对偶定理，那么很显然存在一个二次曲线，它是关于直线的方程。我们把这个二次曲线写成
, 它满足
。
上图左图为点二次曲线，右图为
。
5、 2D投影变换
常用的投影变换包含：欧式变换、相似变换、仿射变换、投影变换。它们对原始几何结构的影响如下图所示。
（1）欧式变换
对于齐次坐标的,
。
其中
可以看到，欧式变换有三个*度：一个是旋转矩阵中的
， 另外两个是偏移向量
中的
。
欧式变换是长度和角度均保持不变。
（2）相似变换
在上式中，旋转矩阵和偏移向量
的含义相同，唯一的区别是多了一个缩放因子
，所以它的*度为4。相似变换是长度比、角度、面积比保持不变
（3）仿射变换
在这里，矩阵依然表示偏移向量。但是
不再是和前面一样的单纯的旋转矩阵。它是一个
的非奇异矩阵。它总可以进行SVD分解得到：
其中
由此可以看到矩阵可以看作是旋转和非均匀缩放的复合操作，它的*度显然是6。不变量是线的平行性质，平行线段的长度比，面积比。
（4）投影变换
其中也叫做2D单应性矩阵。
该矩阵是非奇异矩阵，因此代表了一种可逆变换。该矩阵有9个未知量，但只有它们的比率是有意义的，因此它有八个*度。不变量为四个共线点的交比。
- 投影变换的分解：投影变换可以分解为一串变换链的复合：
即可以看成是相似变换、仿射变换、投影变换的复合。