传送门

考虑把总区间长度减去最多能减少的区间长度

把所有区间离散化，对每一小段计算贡献

分类讨论一波，对于边界 $i,i+1$ ，设它们之间距离 $d$，$i$ 属于 $x$ 考察队的边界，$i+1$ 属于 $y$ 考察队的边界：

　　$i$ 为左边界，$i+1$ 为左边界，显然如果给 $x$ 钥匙就可以让这一段时间关门，给 $x$ 的贡献 $val[x]$ 加上 $d$ ，表示给 $x$ 钥匙得到的贡献

　　$i$ 为左边界，$i+1$ 为右边界，如果 $x=y$ ，显然给 $x$ 钥匙就可以让这段时间关门，那么给 $val[x]$ 加 $d$

　　　　如果不为同一个考察队，那么如果要得到这一段的价值就必须同时给两个考察队钥匙，就从 $x$ 往 $y$ 连一条边权为 $d$ 的单向边，表示 $x,y$ 都有钥匙得到的贡献

　　$i$ 为右边界，$i+1$ 为左边界，那么这一段显然关门就好，直接给答案加上 $d$

　　$i$ 为右边界，$i+1$ 为右边界，那么给 $y$ 钥匙就可以让这段时间关门，所以 $val[y]+=d$

　　（注意此时不用考虑 $x$ 能不能进来，$x$ 在之前就已经考虑过了）

发现这的图是由几条链组成的，所以可以对每条链分别 $dp$

设 $f[i][j][1/0]$ 表示前 $i$ 个点，给了 $j$ 个点钥匙，当前点 $i$ 选$/$不选的最大代价

具体实现起来还有点难度，看代码吧

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=5e3+7,INF=1e9+7;
int n,K,tot,ans;
int pos[N],val[N],eval[N],nex[N];//eval是边的价值，nex存边
map <int,int> mp;//维护某个位置的编号
int id[N],f[2007][2007][2];//id是新的编号(同一条链的编号连续),f是dp数组
bool vis[N];//是否被重新编号过
void dfs(int x) { vis[ id[++tot]=x ]=1; if(nex[x]) dfs(nex[x]); }//给一条链的每个节点编号
int main()
{
    n=read(),K=read();
    int l,r;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        l=read(),r=read();
        mp[l]=i<<1; mp[r]=i<<1|1;//编号
        pos[i]=l; pos[n+i]=r;//存位置，注意位置都是左闭右开的！
    }
    sort(pos+1,pos+(n<<1)+1);//排序
    int res=0;
    for(int i=1;i<(n<<1);i++)//对每一小段分类讨论
    {
        l=pos[i],r=pos[i+1];
        int ld=mp[l],rd=mp[r];
        if( !(ld&1) )//i为左边界
        {
            if( !(rd&1) ) val[ld>>1]+=r-l;//i+1为左边界
            else//i+1为右边界
            {
                if( (ld|1)==rd ) val[ld>>1]+=r-l;//如果属于同一点
                else nex[ld>>1]=(rd>>1),eval[ld>>1]=r-l;
            }
        }
        else//i为右边界
        {
            if( !(rd&1) ) res+=r-l;//i+1为左边界
            else val[rd>>1]+=r-l;//i+1为右边界
        }
    }
    for(int i=n<<1;i;i--)//注意从后往前找，要让链的节点编号连续
    {
        int d=mp[pos[i]];
        if( !(d&1) && !vis[d>>1] ) dfs(d>>1);
    }
    memset(f,~0x3f,sizeof(f));//记得初始化
    f[tot+1][0][0]=0;
    for(int i=tot;i;i--)
    {
        f[i][0][0]=0;
        for(int j=1;j<=min(K,tot-i+1);j++)
        {
            f[i][j][0]=max(f[i+1][j][0],f[i+1][j][1]);
            f[i][j][1]=max(f[i+1][j-1][0], f[i+1][j-1][1]+eval[ id[i] ] )+val[ id[i] ];
        }
    }
    printf("%d", pos[n<<1]-pos[1]-res-max(f[1][K][0],f[1][K][1]) );
    return 0;
}