信息的加密与去密
信息加密的简单模型如图所示：
就是先对数字信息\(x\)做一个变换\(E\)，将变换后的信息\(y=E(x)\)发出，接收方收到信息\(y\)后，进行一个相反的变换\(D\)(也就是\(E\)的逆运算)，恢复成数字信息\(x=D(y)\)，从而识别原始信息。
通常把数字信息\(x\)叫做明文，加密后得到的数字信息\(y\)叫做密文，变换\(E\)和\(D\)分别叫做加密和去密的秘钥。一般来说，秘钥对\({E, D}\)由发送方和接收方约定和保存，不被外人所知。
例如，凯撒加密法，加密运算\(E(k) = k + 19(mod \ 31)\)，去密运算\(D(k) = k+12(mod \ 31)\)，这是互逆操作，即\(DE(k) = ED(k)=k\)。
- 这有一个缺点，由于D, E都非常简单，已知一个很容易推出另一个。这相当于已知公钥能推出私钥，显然不能用于公开秘钥*。
- 另一个缺点，两两之间需要保存一个秘钥对\({E, D}\)，如果是2000人相互通信，每个人都需要存\(C_{2000}^2 = 1 999 0000\)对
RSA加密算法
1976年，美国斯坦福大学的年轻数学家狄菲(Diffe)和计算机专家(Hellman)提出一种新的加密方法，叫做公开秘钥*。在这种*下，信息的加密和去密使用两个不同的秘钥，加密用公钥(公开的，任何人都可以看到)，去密用私钥(严格保密)。
1977年，美国MIT计算机科学实验室的列维斯特(Rivest)等人基于大数分解的复杂性提出了一个方案，就是RSA。
RSA算法的具体描述如下：
(1)任意取两个不同的大素数\(p\)和\(q\)，计算乘积\(n=pq\)，\(\varphi (n) = (p-1)(q-1)\)
(2)任取一个大整数\(e\)，使得\(gcd(e, \varphi (n)) = 1\)，注意：\(e\)是很容易取的，例如所有大于p和q的素数都可用
(3)计算出一个正整数\(d\)，使得\(ed \equiv 1(mod \ \varphi (n))\)，根据拓展欧几里得定理很容易得到
(4)将\(n, e\)公开，\(d\)保密
(5)将明文\(x\)加密为密文\(y\)，加密算法为 \(y = E(x) = x^e(mod \ n)\)
(6)将密文\(y\)解密为明文\(x\)，解密算法为 \(D(y) = y^d(mod \ n) = x\)
这里需要证明一下为什么 \(D(y) = y^d(mod \ n) = x\)，因为根据欧拉定理
设\(n\)为正整数，\(a\)为任意整数，且\((a, n)=1\)，则
因此\(D(y) = y^d(mod \ n) = (x^e)^d(mod \ n) = x^{1 + k\varphi (n)}(mod \ n) = x\cdot (x^{\varphi (n)})^k(mod \ n) = x\)
一个有趣的一点：RSA也是互逆的，即\(ED(x) = DE(x) = x\)。
所以理论上，你可以用私钥加密数据，发送别人别人用公钥解密(这个过程叫签名)。但通常都是别人用公钥加密，你用私钥解密发送过来的数据(这个过程叫加密)。
那有没有可能已知一个秘钥，推出另一个秘钥？
比如公钥\({n, e}\)是公开的，想借此推出私钥\({n, d}\)。因为\(ed \equiv 1(mod \ \varphi (n))\)，所以需要知道\(\varphi(n)\)。而\(\varphi(n) = (p-1)(q-1)\)，因此需要将\(n\)分解成素因式\(pq\)，而这是一个复杂性很高的问题。
数字签名
利用数字签名做身份认证，证明这条信息来自某某。
在公开秘钥*之前，身份认证一直没有很好的解决方案。如今采用公开秘钥*做身份认证就很简单。
在A向B发送信息之前，将信息\(x\)(比如写的"我是A")，先用A的私钥加密，得到\(y = E_A (x)\)(数字签名)，把\(y\)传送给\(B\)后，\(B\)在公钥本上找到\(A\)的公钥，从而得到\(y\)对应的明文\(x\)。由于别人不知道\(A\)的私钥，没办法伪造相同的信息，所以这个信息一定是来自\(A\)的。
同时进行签名和加密
在公开密钥*下，发送方可以同时对信息进行签名和加密。
例如甲要向乙发送信息，先用自己的私钥签名，再用对方的公钥加密；接收方先用自己的私钥解密，再用对方的公钥解密，得到明文。
参考链接：
- 高中数学A版选修4-6 初等数论初步.pdf
- 百度百科-RSA算法