Dirichlet 函数初探

2023-12-03 08:32:58

狄利克雷函数是一个特殊的函数，对于其本身以及数学发展史而言，都有一定的意义，它的定义是：

\[\begin{equation} D(x)=\left\{ \begin{array}{lr} 1,&x\in \Q\ 0,&x\notin \Q \end{array} \right. \end{equation} \]

~~请准确画出此函数的图象~~

它引导我们思考这样一个问题：函数需要解析式么？函数需要图象么？

性质

偶函数
处处无极限（都是第二类间断点）
有界

口胡一下为什么处处无极限，对于 \(\forall x_0\)，我们可以找一个有理数序列 \(\{a_n\}\subset U_0(x_0,r)\) ,无理数序列 \(\{b_n\}\subset U_0(x_0,r) \ (a_n\to x_0,b_n \to x_0,n\to \infin)\)

显然当 \(n\to \infin\) 时， \(\lim_{n\to \infin}f(a_n)\neq\lim_{n\to\infin}f(b_n)\)

所以 \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) 不存在

历史意义

摘录自：神奇的狄利克雷(Dirichlet)函数

函数概念最早出现在17世纪英国数学家格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》(1667年)中，他定义函数是这样一个量：它是从一些其他量经过一系列代数运算或者任何其他可以想象到的运算而得到的，自从牛顿于1665年开始微积分（研究曲线的弧长、不规则图形的面积等的一个数学分支）的研究工作后，他一直使用“流量”一词来表示变量间的关系。
17世纪德国著名数学家莱布尼茨1673年在一篇手稿里使用了“函数”这一概念后来，莱布尼茨又引进“常量”、“变量”和“参变量”的概念，在数学史上，这是一大进步，它使得人们可以从数量上描述运动了。当时的函数指的是可以用解析式表示的函数，但这种概念对数和科学的进一步发展来说实在是太狭隘了。

1734年，瑞士数学家欧拉用f(x)作为函数的记号。f(x)中的f是function（函数）的第一个字母。历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet)。这也促成了微积分的严格性的开始。事实上，如果严格性没有进入定义，那就无法在推理中体现严格性。当时，数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的、严格的定义数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，他们还没有推理赖以展开的精确定义。

首先最好来感受一下这个函数。当取有理数的时候，函数值为1；当x取无理数的时候，函数值为0。这里纠结的地方在哪里呢？无理数和有理数密密麻麻地掺杂在一起，任意两个有理数之间有无穷多个无理数。也就是不管x的区间取得多么小，函数值会急剧地在0与1之间反复跳动。

这种跳动不是一般的函数波动，而是捉摸不到的、极其迅速的跳变。因此狄利克雷函数是极度不连续的。
所以，狄利克雷函数的一个重要特点就是：无法作图。你可以试着把x轴上的有理数和无理数进行分离，属于有理数的点上升一个单位，属于无理数的点停留在原处。当然，这只能存在于想象中，图形无法表示。

这就使得函数的概念扩大了。函数不一定需要表达式，甚至不需要图像，它成为了一个抽象的概念。只要存在某种对应关系，我们就可以称之为函数。

狄利克雷函数的出现，表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”。

狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人，并且是有意识地“以概念代替直觉”的人。在狄利克雷之前，数学家们主要研究具体函数，进行具体计算，他们不大考虑抽象问题。但狄利克雷之后，事情逐渐变化了，人们开始考虑函数的各种性质，例如（图象的）对称性、增减性、连续性等，具体函数、具体函数的计算逐渐淡化了。

1837年，狄利克雷给出了与我们现在所熟知的函数定义非常相近的函数的如下定义（区间一般是指两个实数之间的所有实数）：
如果对于给定区间上的每一个x值，都有唯一的y值与它对应，那么y是x的函数。

数学意义

其主要的作用是在于列举反例和辨析概念

参考：利用Diriehlet函数制作的几种反例

1.任何周期函数必有最小周期？

显然 \(D(x)\) 是一个周期函数

显然，任何大于 \(0\) 的有理数都是它的周期

显然，没有最小周期

2.广义极限 \(*\) 有界函数=广义极限？

设 \(f(x)=x\) ，知道当 \(x\to\infin\) 时，\(f(x)\) 为广义极限，知 \(D(x)\) 有界

那么 \(f(x)·D(x)=x*D(x)\) 不是广义极限

容易根据广义极限的定义证明，\(\forall M>0,\forall X,s.t.\exist \ |x|>X,|f(x)·g(x)|<M\)

\(x\) 只要取无理数即可

3.复合函数极限存在性

命题：若 \(\lim_{x\to a}f(x)=b,\lim_{y\to b}\varphi(y)=1\) ,那么复合函数 \(\varphi(f(x))\) 当 \(x\to a\) 时极限不一定存在

证明：设（即黎曼函数）

\[\begin{equation} f(x)=R(x)= \left\{ \begin{array}{lr} \frac 1p,&x=\frac pq\ (p,q\text{为互质正整数},0<x<1)\in \Q\ 0,&x=0,1 \text{和} (0,1)\text{内无理数}\notin \Q \end{array} \right. \end{equation} \]

又设：

\[\begin{equation} \varphi(x)= \left\{ \begin{array}{lr} 0,&x=0\ 1,&x\neq0 \end{array} \right. \end{equation} \]

我们知道 \(\forall a\in[0,1],\lim_{x\to a}f(x)=0\) ，那么 \(f(x)\) 在所有无理点连续，所有有理点为可去间断点

且 \(\lim_{y\to 0}\varphi (y)=1\)

这里我们也给出 \(D\) 函数的另外一种定义： \(D(x)=\varphi(R(x))\)

发现这个复函函数极限不存在。