很久以前
过了几个月，yc
题目
构造一个值域为 \([1,n]\)，长度为 \(n\) 的单调不降序列 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\)，并且使得 \(\forall 1\leq k\leq n-1\)，都有任意 \(k\) 个数之和小于任意 \(k+1\) 个数之和。
求构造方案数，对 \(M\) 取模。
\(2\le n\le 5000,9\times 10^8<M<10^9\)，\(M\) 是质数。
题解：
容易发现：
- \(n\) 为偶数：只要前 \(\frac{n}2\) 个数之和大于后 \(\frac{n-2}2\) 个数之和；
- \(n\) 为奇数：只要前 \(\frac{n+1}2\) 个数之和大于后 \(\frac{n-1}2\) 个数之和。
\(n\) 为偶数的情况略微复杂于 \(n\) 为奇数的情况，故以 \(n\) 为偶数为例。
只要后 \(\frac{n-2}2\) 个数之和减去前 \(\frac{n}2\) 个数之和为负（记为 \(m\)）。
这里前 \(\frac{n}2\) 个数贡献为负，第 \(\frac{n+2}2\) 个数无关紧要，后 \(\frac{n-2}2\) 个数贡献为正。
因此令 \(b_i=\begin{cases}-a_i&(i\le \frac n2)\\0&(i=\frac{n+2}2)\\a_i&(i>\frac{n+2}2)\end{cases}\)
那么 \(a\) 序列和 \(b\) 序列是一一对应的。因此只要算有多少这样的 \(b\) 序列它的总和为负。
对于单调不降序列的计数，有这样一个套路：
\( \texttt{0 0 0}\cdots\texttt{0 0 0}\\ \texttt{0 0 0}\cdots\texttt{0 0 1}\\ \texttt{0 0 0}\cdots\texttt{0 1 1}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\\ \texttt{0 0 1}\cdots\texttt{1 1 1}\\ \texttt{0 1 1}\cdots\texttt{1 1 1}\\ \texttt{1 1 1}\cdots\texttt{1 1 1} \)
这是 \((n+1)\) 个长度为 \(n\) 的 01 串。
那么一个长度为 \(n\) 值域为 \([1,n]\) 的序列 可以对应 从以上 01 串取出 \(n\) 个来相加的一种方案（一个串可以取多次，最后一个串至少取一次）。
因此完全背包即可。
这时考虑刚刚那个计算 \(b\) 序列的个数的问题，类似构造这样的串 （以下是 \(n=6\) 的情况）：
\(
\texttt{ 0 0 0 0 0 0}\\
\texttt{ 0 0 0 0 0 1}\\
\texttt{ 0 0 0 0 1 1}\\
\texttt{ 0 0 0 0 1 1}\\
\texttt{ 0 0 -1 0 1 1}\\
\texttt{ 0 -1-1 0 1 1}\\
\texttt{-1 -1-1 0 1 1}
\)
（虽然有两个串长得一模一样，但视为不同）
只要算，从以上串中取出 \(n\) 个来相加（一个串可以取多次，最后一个串至少取一次）且总和小于 \(0\) 的方案数。
又只跟总和有关，所以又等价于从 \(0,1,2,\cdots,2,1,0,-1\) 中取出 \(n\) 个来相加，总和小于 \(0\) 的方案数。（对 \(n\) 为奇数的情况，这个对应是差不多的）
注意到只有最后一个是负的，因此想要总和小于 \(0\) 就一定选了最后一个，这个限制相当于没有用。
先对非负的串做 DP，\(f_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 个串，取了 \(j\) 个，和为 \(k\) 的方案数。
答案即为 \(\sum_{j,k}f_{n,j,k}[k-(n-j)<0]=\sum_{j,k}f_{n,j,k}[j+k<n]\)
由于答案只和 \(j+k\) 有关，把 \(j\) 和 \(k\) 合成一维，就是一个完全背包，\(O(n^2)\)。