一、解题思路
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\(spfa\)可以用来判断是不是有向图中存在负环。
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基本原理：利用抽屉原理
\(dist[x]\)的概念是指当前从\(1\)号点到\(x\)号点的最短路径的长度。\(dist[x]=dist[t]+w[i]\)
\(cnt[x]\)的概念是指当前从\(1\)号点到\(x\)号点的最短路径的边数量。\(cnt[x]=cnt[t]+1\)
如果发现\(cnt[x]>=n\),就意味着从\(1 \sim x\)经历了\(n\)条边，那么必须经过了\(n+1\)个点，但问题是点一共只有\(n\)个，所以必然有两个点是相同的，就是有一个环。
因为是在不断求最短路径的过程中发现了环，路径长度在不断变小的情况下发现了环，那么，只能是负环。
6-QQ截图20210224144200.png)
1、⭐️dist[x] 记录虚拟源点到x节点的最短距离,在这里，我把值统一初始化为0，表示每个真实节点都虚拟节点的路径长度现在都是0.由于数组是在全局变量里定义的，所以也不需要memset了，直接就是0，啥也不用动。
2、⭐️cnt[x] 记录当前x点到虚拟源点最短路的边数，初始每个点到虚拟源点的距离为0，只要他能再走n步，即cnt[x] >= n，则表示该图中一定存在负环，由于从虚拟源点到x至少经过n条边时，则说明图中至少有n+1个点，表示一定有点是重复使用.这是抽屉原理。
3、⭐️若dist[j] > dist[t] + w[i],则表示从t点走到j点能够让权值变少，因此进行对该点j进行更新，并且对应cnt[j] = cnt[t] + 1,往前走一步。其实，默认的到0号点的距离都是0，什么情况下会发生dist[j]>dist[t]+w[i]呢？只能是w[i]<0,就是负权边的情况，不信你跟踪下代码看看，这一点我看好多同学的题解都写的不清楚，都是初始化为0x3f3f3f3f,还是dist[N]是到1号点的距离等，都是错误的，是需要注意的，但不影响AC的。原因很简单，初始化啥数都是一样，但初始化为0也能说清楚最开始假设的虚拟源点，为什么可以把其它每个实心点入队列。
⭐️注意：该题是判断是否存在负环，并非判断是否存在从1开始的负环，因此需要将所有的点都加入队列中，更新周围的点
C++ 代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m; // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中,防止存储重复的点，存储重复的点是没有意义的
int size[N]; // 每个节点到1号点的边数
void add(int a, int b, int c) {
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
int spfa() {
memset(dist, 0, sizeof dist);
//这里不需要初始化0，因为题目也不要求你提供最短路是多少，反正有个数就行了。
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
q.push(i);
st[i] = true;
}
while (q.size()) {
int t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i]) {
dist[j] = dist[t] + w[i];
size[j] = size[t] + 1;
if (size[j] >= n) return true;
// 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入
if (!st[j]) {
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
return false;
}
int main() {
//优化输入
ios::sync_with_stdio(false);
cin >> n >> m;
//初始化链表头
memset(h, -1, sizeof h);
while (m--) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
add(a, b, c);
}
//调用spfa判断是否有负环
if (spfa()) puts("Yes");
else puts("No");
return 0;
}