公式:
Burnside引理: 1/|G|*(C(π1)+C(π2)+C(π3)+.....+C(πn));
C(π):指不同置换下的等价类数。例如π=(123)(3)(45)(6)(7),X={1,2,3,4,5,6,7};那么C(π)={3,6,7}共3个等价类。
Polya定理: 1/|G|*(mC(π1)+mC(π2)+mC(π3)+...+mC(πk)).
设G={π1,π2,π3........πn}是X={a1,a2,a3.......an}上一个置换群, 其中C(πk)为置换πk的循环节的个数。
eg:
POJ2409 Let it Bead
http://poj.org/problem?id=2409
题意:
有一个n长的项链,用m种颜色对其染色,有多少中不同的染色方法,项链可以旋转或者翻转。
思路:
用polya计数法,
对于旋转:每种旋转的循环节数就是gcd(i,n).
对于翻转:奇数时,按一个点与对边的轴翻转,循环节就是(n+1)/2,有n种。
偶数时,可以以两条对边翻转,循环节数就是n/2,可以以两对点翻转,循环节数就是(n+2)/2 ,分别有n/2种
代码:
long long n,m; long long flag,sum,ave,ans,res; long long gcd(long long x,long long y) { return y?gcd(y,x%y):x; } long long power(long long x,long long k) { long long ans = 1; while(k) { if(k & 1) ans *= x; x *= x; k >>= 1; } return ans; } int main() { int i,j,k,kk,t,x,y,z; while(scanf("%lld%lld",&m,&n)!=EOF&&n) { sum=0; for(i=1;i<=n;i++) sum+=power(m,gcd(n,i)); if(n&1)sum+=(n*power(m,(n+1)/2)); else sum+=(n/2*power(m,(n+2)/2)+n/2*power(m,n/2)); sum/=(2*n); printf("%lld\n",sum); } return 0; }
gym-101873B Buildings(polya计数)
ll qfast(ll x,ll y) { ll ans=1; while(y) { if(y&1) ans=ans*x%mod; x=x*x%mod; y>>=1; } return ans%mod; } void run() { ll n=rdll(),m=rdll(),c=rdll(); ll x=qfast(c,n*n); ll ans=0; for(ll i=1;i<=m;i++) { ans+=qfast(x,__gcd(i,m)); ans%=mod; } ans*=qfast(m,mod-2); printf("%lld\n",ans%mod); } signed main() { // int t=rd(); // while(t--) run(); return 0; }