前言

MatrixTree定理是用来解决生成树计数问题的有利工具

比如说这道题

MatrixTree定理的算法流程也非常简单

我们记矩阵\(A\)为无向图的度数矩阵

记矩阵\(D\)为无向图的邻接矩阵

\(A\)矩阵是除了对角线之外各个点值都为\(0\)的矩阵，\(A[i][i]\)表示\(i\)号点的度数

\(D\)矩阵记录两点之间的度数，\(D[i][j]\)表示\(i\)号点与\(j\)号点之间的边数

MatrixTree定理

我们记矩阵\(G=A-D\)

那么\(G\)的所有不同生成树的个数等于\(G\)的任何一个 \(n-1\) 阶主子式的行列式的绝对值

实现

MatrixTree定理的实现非常简单

1. 计算出\(G\)矩阵
2. 后对其进行高斯消元
3. 把消元后的矩阵的对角线乘起来
4. 输出

代码

就是上面那道题目的代码

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cmath>

using namespace std;

const int MAXN=3001;

const double eps=1e-12;

inline int read()

{

    char c=getchar();int x=0,f=1;

    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}

    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}

    return x*f;

}

double G[MAXN][MAXN],a[MAXN][MAXN];

char s[MAXN][MAXN];

int xx[5]={0,-1,+1,0,0};

int yy[5]={0,0,0,-1,+1};

int N,M;

int dcmp(int x)

{

    if(x<=eps||x>=-eps) return 0;

    else return x<0?-1:1;

}

void Gauss()

{

    N--;

    for(int i=1;i<=N;i++)//每一行

    {

        int mx=i;

        for(int j=i+1;j<=N;j++)//下面的每一行

            if(dcmp(G[mx][i]-G[j][i])<0) mx=j;

        if(mx!=i) swap(G[i],G[mx]);

        if(!G[i][i]) {printf("0\n");return ;}

        for(int j=i+1;j<=N;j++)

        {

            double t=G[j][i]/G[i][i];

            for(int k=i;k<=N+1;k++)

                G[j][k]-=t*G[i][k];

        }

    }

    double ans=1;

    for(int i=1;i<=N;i++) ans=ans*G[i][i];

    printf("%.0f\n",abs(ans));

}

int main()

{

    int T=read();

    while(T--)

    {

        memset(G,0,sizeof(G));

        N=read(),M=read();

        for(int i=1;i<=M;i++)

        {

            int x=read(),y=read();

            G[x][x]++;G[y][y]++;

            G[x][y]--;G[y][x]--;

        }

        Gauss();

    }

    return 0;

}