Median of Two Sorted Arrays
There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).
SOLTION 1:
1. 我们借用findKthNumber的思想。先实现findKthNumber，如果是偶数个，则把中间2个加起来平均，奇数就用中间的。
2. 为了达到LOG级的复杂度，我们可以这样：
每次在A，B取前k/2个元素。有以下这些情况：
1). A的元素个数 < k/2. 则我们可以丢弃B前k/2. 反之亦然
证明：
我们使用反证法。
假设第K大在B的前k/2中，例如位置在索引m(m <= k/2-1)那么A必然拥有前k中的k -(m+1)个元素，而
m <= k/2-1,则 m+1 <= k/2 , k - (m+1) >= k/2与条件：A的元素不够k/2矛盾，所以假设不成立，得证。
举个栗子：
A: 6 7 8
B: 1 2 3 4 5
找第8大的数字，
2). A[mid] < B[mid] (mid是k/2 -1索引处的元素）。
这种情况下，我们可以丢弃A前k/2。
证明：
我们使用反证法。
假设第K大在A的前k/2中记为maxK，例如位置在索引m(m <= k/2-1)那么B必然拥有前k中的k -(m+1)个元素，而
m <= k/2-1,则 m+1 <= k/2 , k - (m+1) > k/2
推出B[mid] <= maxK
而A[mid] >= maxK 推出 A[mid]>=B[mid], 与题设矛盾。所以假设不能成立。
举个栗子：
A: 1 2
B: 4 5 6 7 8
找第四大的数字 我们就可以首先排除1，2.
public double findMedianSortedArrays(int A[], int B[]) {
if (A == null || B == null) {
return 0;
}
int len = A.length + B.length;
double ret = 0;
// 偶数个元素
if (len % 2 == 0) {
ret = (findKth(A, B, 0, 0, len / 2) + findKth(A, B, 0, 0, len / 2 + 1)) / (double)2.0;
} else {
// 奇数个元素
ret = findKth(A, B, 0, 0, len / 2 + 1);
}
return ret;
}
// Find the Kth large number.
public int findKth(int A[], int B[], int indexA, int indexB, int k) {
int lenA = A.length;
int lenB = B.length;
if (indexA >= lenA) {
return B[indexB + k - 1];
} else if (indexB >= lenB) {
return A[indexA + k - 1];
}
// Base Case, pay attention. 在这里必须要退出。因为k = 1的时候，不可能再分了。
if (k == 1) {
return Math.min(A[indexA], B[indexB]);
}
// -1是因为索引本身是从0开始的。而前k大元素含有k个元素。
int mid = k / 2 - 1;
// 注意，越界条件是 >= lenA. 怎么老是犯这个错误。。
int keyA = indexA + mid >= lenA ? Integer.MAX_VALUE: A[indexA + mid];
int keyB = indexB + mid >= lenB ? Integer.MAX_VALUE: B[indexB + mid];
// 因为丢弃了k / 2个元素
int kNew = k - k / 2;
if (keyA < keyB) {
return findKth(A, B, indexA + k / 2, indexB, kNew);
} else {
return findKth(A, B, indexA, indexB + k / 2, kNew);
}
}
2015.1.25
可以优化一下，在找到kth number时可以及时退出：
public class Solution {
public double findMedianSortedArrays(int A[], int B[]) {
//
if (A == null || B == null) {
return ;
}
int len = A.length + B.length;
if (len % == ) {
return (double)(dfs(A, B, , , len / ) + dfs(A, B, , , len / + )) / 2.0;
} else {
return dfs(A, B, , , len / + );
}
}
public double dfs1(int A[], int B[], int aStart, int bStart, int k) {
if (aStart >= A.length) {
return B[bStart + k - ];
} else if (bStart >= B.length) {
return A[aStart + k - ];
}
if (k == ) {
return Math.min(A[aStart], B[bStart]);
}
// k = 4;
// mid = 1;
int mid = k / - ;
if (aStart + mid >= A.length) {
// drop the left side of B.
return dfs(A, B, aStart, bStart + k / , k - k / );
} else if (bStart + mid >= B.length) {
// drop the left side of A.
return dfs(A, B, aStart + k / , bStart, k - k / );
} else if (A[aStart + mid] > B[bStart + mid]) {
// drop the left side of B.
return dfs(A, B, aStart, bStart + k / , k - k / );
// 当2者相等，有2种情况：
// 1. 当k为偶数，则kth存在于任何一个结尾处，其实也是可以丢弃一半的。
// 2. 当k为奇数，则kth不存在于A,B的left side。也是可以丢弃任意一半。
//} else if (A[aStart + mid] < B[bStart + mid]) {
} else {
return dfs(A, B, aStart + k / , bStart, k - k / );
}
//return A[aStart + mid];
}
public double dfs(int A[], int B[], int aStart, int bStart, int k) {
if (aStart >= A.length) {
return B[bStart + k - ];
} else if (bStart >= B.length) {
return A[aStart + k - ];
}
if (k == ) {
return Math.min(A[aStart], B[bStart]);
}
// k = 4;
// mid = 1;
int mid = k / - ;
if (aStart + mid >= A.length) {
// drop the left side of B.
return dfs(A, B, aStart, bStart + k / , k - k / );
} else if (bStart + mid >= B.length) {
// drop the left side of A.
return dfs(A, B, aStart + k / , bStart, k - k / );
} else if (A[aStart + mid] > B[bStart + mid]) {
// drop the left side of B.
return dfs(A, B, aStart, bStart + k / , k - k / );
} else if (A[aStart + mid] < B[bStart + mid]) {
return dfs(A, B, aStart + k / , bStart, k - k / );
} else {
// drop the left side of A.
//return dfs(A, B, aStart + k / 2, bStart, k - k / 2);
if (k % == ){
return A[aStart + mid];
}
// can drop both sides.
return dfs(A, B, aStart + k / , bStart + k / , );
}
//return A[aStart + mid];
}
}
GITHUB:
https://github.com/yuzhangcmu/LeetCode_algorithm/blob/master/array/FindMedianSortedArrays.java