AcWing《PAT甲级辅导课》第5章树

2023-11-30 12:18:40

第5章树

1004. Counting Leaves

笔记

统计树每层叶子的个数，可用DFS或BFS
在DFS加入参数depth，可表示当前层号，但还需要全局变量记录树的层数
可用邻接表存储树

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 110, M = 210, ROOT = 1;
int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int cnt[N], max_depth;

void add(int u, int v) {
    e[idx] = v;
    ne[idx] = h[u];
    h[u] = idx++;
}

void dfs(int u, int depth) {
    if (h[u] == -1) {
        cnt[depth]++;       // 叶节点
        max_depth = max(max_depth, depth);
        return;
    }
    
    for (int p = h[u]; ~p; p = ne[p])
        dfs(e[p], depth + 1);
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    
    int u, son, k;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> u >> k;
        while(k--) {
            cin >> son;
            add(u, son);
        }
    }
    
    dfs(ROOT, 0);
    
    cout << cnt[0];
    for (int i = 1; i <= max_depth; i++)
        cout << ' ' << cnt[i];
    cout << endl;
    
    return 0;
}

1020. Tree Traversals

笔记

根据中序遍历和后序遍历（或前序遍历）可唯一确定一棵二叉树
- 后序遍历序列 = m 1 m_1 m1个数构成的左子树后序遍历序列 + m 2 m_2 m2个数构成的左子树后序遍历序列 + 根节点
- 中序遍历序列 = m 1 m_1 m1个数构成的左子树中序遍历序列 + 根节点 + m 2 m_2 m2个数构成的左子树中序遍历序列
后序遍历最后一个位置是根节点，查找其在中序遍历的位置，可把中序遍历分成两段，左段是左子树的中序遍历，右段是右子树的中序遍历。根据左子树的中序遍历序列，可确定左子树的结点个数 m m m，从而后序遍历前 m m m个数构成的就是左子树的后序遍历序列，之后的数至倒数第二个就是右子树的后序遍历序列，借助递归则可继续做下去
构造完二叉树后可用BFS实现层序遍历

#include <iostream>
#include <unordered_map>
using namespace std;
const int N = 35;
int n;
int inorder[N], postorder[N];
unordered_map<int, int> l, r, pos;

int build(int in_l, int in_r, int post_l, int post_r) {
    int root = postorder[post_r];   // 当前后序遍历段的根节点下标
    int k = pos[root];              // 根节点在中序遍历的位置（哈希表优化查找）
    if (in_l < k) {
        int m = (k - 1) - in_l + 1;     // 左子树结点个数
        l[root] = build(in_l, k - 1, post_l, post_l + (k - 1 - in_l));
    }
    if (k < in_r) {
        int m = in_r - (k + 1) + 1;     // 右子树结点个数
        r[root] = build(k + 1, in_r, post_l + (k - 1 - in_l) + 1, post_r - 1);
    }
    return root;
}

int q[N], hh, tt;

void bfs(int root) {
    q[++tt] = root;
    while(hh < tt) {
        int u = q[++hh];
        if (l.count(u)) q[++tt] = l[u];
        if (r.count(u)) q[++tt] = r[u];
    }
    
    cout << q[1];
    for (int i = 2; i <= n; i++) cout << ' ' << q[i];
    cout << endl;
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> postorder[i];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> inorder[i];
        pos[inorder[i]] = i;        // 根据结点值查找其中序序列的位置
    }
    
    int root = build(0, n - 1, 0, n - 1);
    
    bfs(root);
    
    return 0;
}

1021. Deepest Root

笔记

可用并查集查找连通个数，每成功合并一次，则说明是树的一条边，如果给的所有边都能成功合并，则是一棵树，否则不能合并的边数就是连通数
可参照“树的中心”那题寻找各个点的最大深度，在本题中，各个边的权重都是1，不存在负数权值，能简化代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 10, M = 2 * N;

// 邻接表
int n;
int h[N], e[M], ne[M], idx;

void add(int u, int v) {
    e[idx] = v;
    ne[idx] = h[u];
    h[u] = idx++;
}

// 并查集
int parent[N];                           

int find(int x) {
    if (parent[x] != x) parent[x] = find(parent[x]);
    return parent[x];
}

// 树的中心
int d1[N], d2[N], p1[N], up[N];     

int dfs_down(int u, int father) {
    for (int p = h[u]; ~p; p = ne[p]) {
        int v = e[p];
        if (v == father) continue;      // 不往上走
        
        int d = 1 + dfs_down(v, u);
        if (d > d1[u]) {
            d2[u] = d1[u];
            d1[u] = d;
            p1[u] = v;
        } else if (d > d2[u]) 
            d2[u] = d;
    }
    
    return d1[u];
}

void dfs_up(int u, int father) {
    for (int p = h[u]; ~p; p = ne[p]) {
        int v = e[p];
        if (v == father) continue;      // 不往上走
        
        if (p1[u] == v) up[v] = 1 + max(up[u], d2[u]);      // u的最长路径经过v
        else up[v] = 1 + max(up[u], d1[u]);                 // u的最长路径不经过v
        
        dfs_up(v, u);
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    int u, v;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) parent[i] = i;      // 初始化并查集
    
    memset(h, -1, sizeof h);            // 初始化邻接表
    
    int cnt = n;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        cin >> u >> v;
        
        add(u, v);
        add(v, u);
        
        if (find(u) != find(v)) {
            parent[find(u)] = find(v);       // 合并
            cnt--;
        }
    }
    
    if (cnt > 1) printf("Error: %d components\n", cnt);
    else {
        // 找树的中心（树形DP）
        dfs_down(1, -1);
        dfs_up(1, -1);
        
        int max_depth = -1;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            max_depth = max(max_depth, max(up[i], d1[i]));
        
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            if (max(up[i], d1[i]) == max_depth)
                cout << i << endl;
    }
    
    return 0;
}

1043. Is It a Binary Search Tree

笔记

把二叉搜索树的前序序列排序即可得到中序序列
若能根据前序序列和中序序列构造二叉树，则说明是一个二叉搜索树
可在构造二叉搜索树时，计算后序序列

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;

int n, cnt;
int pre[N], in[N], post[N];

bool build(int pre_l, int pre_r, int in_l, int in_r) {
    if (in_l > in_r) return true;
    
    int root = pre[pre_l];
    int k;
    for (k = in_l; k <= in_r; k++)
        if (in[k] == root)
            break;      // 从前往后找第1个root（重复元素的第1个）
    if (k > in_r) return false;
    
    bool res = true;
    if(!build(pre_l + 1, pre_l + 1 + (k - 1 - in_l), in_l, k - 1)) res = false;
    if(!build(pre_l + 1 + (k - 1 - in_l) + 1, pre_r, k + 1, in_r)) res = false;
    // res = res && build(pre_l + 1, pre_l + 1 + (k - 1 - in_l), in_l, k - 1);
    // res = res && build(pre_l + 1 + (k - 1 - in_l) + 1, pre_r, k + 1, in_r);
    post[cnt++] = root;
    
    return res;
}

bool build_r(int pre_l, int pre_r, int in_l, int in_r) {
    if (in_l > in_r) return true;
    
    int root = pre[pre_l];
    int k;
    for (k = in_r; k >= in_l; k--)
        if (in[k] == root)
            break;      // 从后往前找第1个root（重复元素的最后1个）
    if (k < in_l) return false;
    
    bool res = true;
    if(!build_r(pre_l + 1, pre_l + 1 + (k - 1 - in_l), in_l, k - 1)) res = false;
    if(!build_r(pre_l + 1 + (k - 1 - in_l) + 1, pre_r, k + 1, in_r)) res = false;
    // res = res && build(pre_l + 1, pre_l + 1 + (k - 1 - in_l), in_l, k - 1);
    // res = res && build(pre_l + 1 + (k - 1 - in_l) + 1, pre_r, k + 1, in_r);
    post[cnt++] = root;
    
    return res;
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> pre[i];
        in[i] = pre[i];
    }
    
    sort(in, in + n);
    
    if (build(0, n - 1, 0, n - 1)) {
        puts("YES");
        cout << post[0];
        for (int i = 1; i < n; i++) 
            cout << ' ' << post[i];
        cout << endl;
    } else {
        reverse(in, in + n);
        
        cnt = 0;
        if (build_r(0, n - 1, 0, n - 1)) {
            puts("YES");
            cout << post[0];
            for (int i = 1; i < n; i++) 
                cout << ' ' << post[i];
            cout << endl;
        } else puts("NO");
    }
    
    return 0;
}

1064. Complete Binary Search Tree

笔记

采用一维数组存储完全二叉树
根据中序遍历次序填入排好序的二叉搜索树元素构成的序列
按顺序输出一维数组即可得到层次遍历结果

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;

int n, a[N], b[N];
int cnt = 1;

void inorder(int u) {
    if (2 * u <= n) inorder(2 * u);
    b[u] = a[cnt++];
    if (2 * u + 1 <= n) inorder(2 * u + 1);
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    
    sort(a + 1, a + n + 1);
    inorder(1);     // 按中序遍历填入
    
    cout << b[1];
    for (int i = 2; i <= n; i++) cout << ' ' << b[i];
    
    return 0;
}

1086. Tree Traversals Again

笔记

非递归后序遍历具有如下特点
- 首次一定是push，压入的元素一定是root
- 如果上一次操作是push，则当前结点是上一个结点的左孩子
- 如果上一次操作是pop，则当前结点是上一个结点的右孩子
记录所有结点的左右孩子后，即可用DFS从root开始输出其后序遍历次序

#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;
const int N = 35;

int n, l[N], r[N];      // 左右孩子
string output;

void post_order(int u) {
    if (!u) return;     // 空节点
    
    post_order(l[u]);
    post_order(r[u]);
    output += to_string(u) + " ";
}

int main() {
    cin >> n;
    
    stack<int> s;
    string op;
    int root, x;
    int last = 0;   // 上一个结点
    int type = 0;   // 0表示push，1表示pop
    for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
        cin >> op;
        if (op == "Push") {
            cin >> x;
            if (!i) root = x;       // 首次压入是根节点
            else {
                if (type == 0) l[last] = x;     // 上次是push，当前结点是上个结点的左孩子
                else r[last] = x;       // 上次是pop，当前结点是上个结点的左孩子
            }
            
            s.push(x);      // 模拟栈压入
            last = x;
            type = 0;
            
        } else {
            // pop
            last = s.top();           // 模拟栈弹出
            s.pop();
            type = 1;
        }
    }
    
    post_order(root);
    
    cout << output.substr(0, output.size() - 1) << endl;       // 去掉末尾空格
    
    return 0;
}

1099. Build A Binary Search Tree

笔记

先用中序遍历把排好序的数填入，然后再用层序遍历输出
~p等价于p != -1

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 110, ROOT = 0;

int n, l[N], r[N], w[N], a[N];

int cnt;
void inorder(int u) {
    if (u == -1) return;
    
    inorder(l[u]);
    a[u] = w[cnt++];        // 填数
    inorder(r[u]);
}
 
string res;
int q[N];
void bfs(int root) {
    int hh = 0, tt = 0;
    q[++tt] = root;
    
    while(hh < tt) {
        int x = q[++hh];
        if (l[x] != -1) q[++tt] = l[x];
        if (r[x] != -1) q[++tt] = r[x];
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) res += to_string(a[q[i]]) + " ";
}
 
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> l[i] >> r[i];
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> w[i];
    
    sort(w, w + n);
    
    inorder(ROOT);      // 中序遍历填数
    bfs(ROOT);
    
    cout << res.substr(0, res.size() - 1) << endl;
    
    return 0;
}

1102. Invert a Binary Tree

笔记

两种方法
- 方法1 不翻转
  - 实现层序遍历时，先加入右孩子，再加入左孩子
  - 实现中序遍历时，先遍历右子树，再遍历左子树
- 方法2 翻转
  - 采用后序遍历翻转，即访问时交换左右孩子
  - 正常实现层序遍历和中序遍历即可

方法1 不翻转

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 15;
int n, l[N], r[N];
bool has_father[N];

string res_1;
int q[N];
void bfs(int root) {
    int hh = 0, tt = 0;
    q[++tt] = root;
    
    while(hh < tt) {
        int x = q[++hh];
        if (~r[x]) q[++tt] = r[x];
        if (~l[x]) q[++tt] = l[x];
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) res_1 += to_string(q[i]) + " ";
}

string res_2;
void inorder(int u) {
    if (u == -1) return;
    
    inorder(r[u]);
    res_2 += to_string(u) + " ";
    inorder(l[u]);
}

int main() {
    cin >> n;
    
    memset(l, -1, sizeof l);
    memset(r, -1, sizeof r);
    string ls, rs;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> ls >> rs;
        if (ls != "-") {
            l[i] = ls[0] - '0';
            has_father[l[i]] = true;
        }
        if (rs != "-") {
            r[i] = rs[0] - '0';
            has_father[r[i]] = true;
        }
    }
    
    int root = -1;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        if (!has_father[i]) {
            root = i;
            break;
        }
    
    bfs(root);
    inorder(root);
    
    cout << res_1.substr(0, res_1.size() - 1) << endl;
    cout << res_2.substr(0, res_2.size() - 1) << endl;
    
    return 0;
}

方法2 翻转

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 15;
int n, l[N], r[N];
bool has_father[N];

void reverse(int u) {
    if (u == -1) return;
    
    reverse(l[u]);
    reverse(r[u]);
    swap(l[u], r[u]);
}

string res_1;
int q[N];
void bfs(int root) {
    int hh = 0, tt = 0;
    q[++tt] = root;
    
    while(hh < tt) {
        int x = q[++hh];
        if (~l[x]) q[++tt] = l[x];
        if (~r[x]) q[++tt] = r[x];
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) res_1 += to_string(q[i]) + " ";
}

string res_2;
void inorder(int u) {
    if (u == -1) return;
    
    inorder(l[u]);
    res_2 += to_string(u) + " ";
    inorder(r[u]);
}

int main() {
    cin >> n;
    
    memset(l, -1, sizeof l);
    memset(r, -1, sizeof r);
    string ls, rs;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> ls >> rs;
        if (ls != "-") {
            l[i] = ls[0] - '0';
            has_father[l[i]] = true;
        }
        if (rs != "-") {
            r[i] = rs[0] - '0';
            has_father[r[i]] = true;
        }
    }
    
    int root = -1;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        if (!has_father[i]) {
            root = i;
            break;
        }
    
    reverse(root);
    bfs(root);
    inorder(root);
    
    cout << res_1.substr(0, res_1.size() - 1) << endl;
    cout << res_2.substr(0, res_2.size() - 1) << endl;
    
    return 0;
}

1110. Complete Binary Tree

笔记

模拟构造完全二叉树，如果所有结点的最大编号刚好为 n n n（从1开始编号），则是一个完全二叉树，否则不是

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 25;

int n, l[N], r[N];
bool has_father[N];
int max_u = -1, max_k = -1;

void dfs(int u, int k) {
    if (u == -1) return;
    
    if (k > max_k) {
        max_u = u;
        max_k = k;
    }
    
    dfs(l[u], 2 * k);
    dfs(r[u], 2 * k + 1);
}

int main () {
    cin >> n;
    
    memset(l, -1, sizeof l);
    memset(r, -1, sizeof r);
    string ls, rs;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> ls >> rs;
        if (ls != "-") {
            l[i] = stoi(ls);
            has_father[l[i]] = true;
        }
        if (rs != "-") {
            r[i] = stoi(rs);
            has_father[r[i]] = true;
        }
    }
    
    int root = 0;
    while(has_father[root]) root++;
    
    dfs(root, 1);       // 从1开始填完全二叉树
    
    if (max_k == n) printf("YES %d\n", max_u);
    else printf("NO %d\n", root);
    
    return 0;
}

1115. Counting Nodes in a BST

笔记

构造二叉搜索树，注意从1开始编号，insert(int& u, int x)可自动更新左右子树指针
用DFS遍历所有结点，计算各层结点数，同时还要保存最大层数

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;

int n, l[N], r[N], v[N], idx;

int cnt[N], max_depth;

void insert(int &u, int x) {
    // 从结点u开始插入x
    if (!u) {
        // 首次插入
        u = ++idx;       // 计算可用结点位置（数组下标表示），并保存（引用可修改变量）
        v[u] = x;        // 保存该结点
    } else if (x <= v[u]) insert(l[u], x);  // 若插入成功，则会修改l[u]的值，指向新结点地址
    else insert(r[u], x);                   // 若插入成功，则会修改r[u]的值，指向新结点地址
}

void dfs(int u, int depth) {
    if (!u) return;
    cnt[depth]++;
    max_depth = max(max_depth, depth);
    
    dfs(l[u], depth + 1);
    dfs(r[u], depth + 1);
}

int main() {
    cin >> n;
    
    int x;
    int root = 0;       // 0表示首次插入
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> x;
        insert(root, x);        // 自动更新当前root位置
    }
    
    dfs(root, 0);
    
    int n1 = cnt[max_depth], n2 = cnt[max_depth - 1];
    printf("%d + %d = %d\n", n1, n2, n1 + n2);
    
    return 0;
}

1119. Pre- and Post-order Traversals

笔记

用DFS搜索，如果找到一种情况，则继续搜索，如果找到一种以上的情况，则可停止
可根据前序遍历序列划分左右子树，即根节点 + 左子树区间 + 右子树区间，可在左右边界穷举所有情况

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 40;

int pre[N], post[N], in[N];

// 返回合法方案数
int dfs(int pre_l, int pre_r, int post_l, int post_r, string& res) {
    if (pre_l > pre_r) return 1;                    // 合法情况
    if (pre[pre_l] != post[post_r]) return 0;       // 非法情况
    
    int cnt = 0;
    for (int k = pre_l; k <= pre_r; k++) {
        string l_res, r_res;
        int l_cnt = dfs(pre_l + 1, k, post_l, post_l + k - pre_l - 1, l_res);
        int r_cnt = dfs(k + 1, pre_r, post_l + k - pre_l - 1 + 1, post_r - 1, r_res);
        
        if (l_cnt && r_cnt) {
            cnt += l_cnt * r_cnt;
            res = l_res + to_string(pre[pre_l]) + " " + r_res;
            if (cnt > 1) break;
        }
    }
    return cnt;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> pre[i];
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> post[i];
    
    string res;
    int cnt = dfs(0, n - 1, 0, n - 1, res);
    
    if (cnt > 1) puts("No");
    else puts("Yes");
    
    cout << res.substr(0, res.size() - 1) << endl;
    
    return 0;
}

1127. ZigZagging on a Tree

笔记

重建二叉树，再层序遍历
可在BFS中确定二叉树每一层结点的范围，内嵌一层while即可做到

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
using namespace std;
const int N = 35;

unordered_map<int, int> l, r, pos;       // 左右孩子
int n, in[N], post[N];

int build(int in_l, int in_r, int post_l, int post_r) {
    int root = post[post_r];
    int k = pos[root];        // 查找root在中序遍历的下标
    if (in_l < k) l[root] = build(in_l, k - 1, post_l, post_l + k - 1 - in_l);
    if (k < in_r) r[root] = build(k + 1, in_r, post_l + k - 1 - in_l + 1, post_r - 1);
    
    return root;
}

string res;
int q[N];
void bfs(int root) {
    int hh = 0, tt = 0;
    q[0] = root;
    
    bool flag = true;
    while(hh <= tt) {
        int head = hh, tail = tt;
        while(hh <= tail) {
            int u = q[hh++];
            if (l.count(u)) q[++tt] = l[u];
            if (r.count(u)) q[++tt] = r[u];
        }
        
        if (flag) reverse(q + head, q + tail + 1);
        flag = !flag;
    }
    
    for (int i = 0; i < n; i++)
        res += to_string(q[i]) + ' ';
    res.pop_back();
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> in[i];
        pos[in[i]] = i;       // 哈希表，加快查找下标
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> post[i];
    
    int root = build(0, n - 1, 0, n - 1);
    bfs(root);
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}

1138. Postorder Traversal

笔记

DFS后序构造二叉树，但不保存左右孩子位置
由于只需记录后序遍历首次遍历的结点，故只需判段用来保存的变量是否变更即可

#include <iostream>
#include <unordered_map>
using namespace std;
const int N = 5e4 + 10;

unordered_map<int, int> pos;
int n, in[N], pre[N];
int post;       // 后序遍历第1个结点

void build(int in_l, int in_r, int pre_l, int pre_r) {
    int root = pre[pre_l];
    int k = pos[root];
    
    if (in_l < k) build(in_l, k - 1, pre_l + 1, pre_l + 1 + k - 1 - in_l);
    if (k < in_r) build(k + 1, in_r, pre_l + 1 + k - 1 - in_l + 1, pre_r);
    
    if (!post) post = root;     // 后序遍历第1个结点
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    cin >> n;
    
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> pre[i];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> in[i];
        pos[in[i]] = i;
    }
    
    build(0, n - 1, 0, n - 1);
    
    cout << post << endl;
    
    return 0;
}

1066. Root of AVL Tree

笔记

插入一个新结点可分为三步：① 插入结点； ② 调整位置； ③ 更新高度
- 插入结点的过程与查找二叉树一样
- 调整位置共有4类情况（LL、LR、RR、RL），可通过计算左右孩子的高度差判断。每种情况可通过两个基本步骤左旋和右旋的组合来解决。在把孩子变成根节点前，需要把孩子多余的部分移到原来的根节点上
- 更新高度需要从下往上更新
性质：左旋和右旋只会改变平衡二叉树的位置和高度，但中序遍历次序不变
代码实现需要修改根节点指向，因此需要用引用型参数&

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 30;
int l[N], r[N], w[N], idx;      // 左右儿子法实现平衡二叉树
int h[N];                       // 树高

int get_balance(int u) {
    return h[l[u]] - h[r[u]];           // 平衡度
}

void update(int u) {
    h[u] = max(h[l[u]], h[r[u]]) + 1;       // 更新结点高度
}

void R(int& u) {
    int p = l[u];
    l[u] = r[p];            // 不然左孩子的右孩子不为空，放不了根节点
    r[p] = u;
    update(u);              // 从下往上更新
    update(p);
    u = p;                  // 更新根节点
}

void L(int& u) {
    int p = r[u];
    r[u] = l[p];            // 不然左孩子的右孩子不为空，放不了根节点
    l[p] = u;
    update(u);              // 从下往上更新
    update(p);
    u = p;                  // 更新根节点
}

void insert(int &u, int v) {
    if (!u) {
        u = ++idx;
        w[u] = v;
    } else if (v < w[u]) {
        // 先插入，再调整，最后更新
        insert(l[u], v);        
        if (get_balance(u) == 2) {
            if (get_balance(l[u]) == 1) R(u);
            else {
                L(l[u]);
                R(u);
            }
        }
    } else {
        insert(r[u], v);
        if (get_balance(u) == -2) {
            if (get_balance(r[u]) == -1) L(u);
            else {
                R(r[u]);
                L(u);
            }
        }
    }
    
    update(u);
}

int main() {
    int n, v;
    cin >> n;
    
    int root = 0;       // 从第0个位置开始插入
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> v;
        insert(root, v);        // 插入到平衡二叉树中
    }
    
    cout << w[root] << endl;
    
    return 0;   
}

1123. Is It a Complete AVL Tree.

笔记

首先构造平衡二叉树，然后采用BFS边输出层序遍历，边判断是否是完全二叉树，如果插入结点的位置超过 n n n，则认为不是完全二叉树

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 25;
int n, l[N], r[N], w[N], h[N], idx;

int get_balance(int u) {
    return h[l[u]] - h[r[u]];
}

void update(int u) {
    h[u] = max(h[l[u]], h[r[u]]) + 1;
}

void R(int& u) {
    int p = l[u];
    l[u] = r[p];
    r[p] = u;
    update(u);
    update(p);
    u = p;
}

void L(int& u) {
    int p = r[u];
    r[u] = l[p];
    l[p] = u;
    update(u);
    update(p);
    u = p;
}

void insert(int& u, int x) {
    if (!u) {
        u = ++idx;
        w[u] = x;
    } else if (x < w[u]) {
        insert(l[u], x);
        if (get_balance(u) == 2) {
            if (get_balance(l[u]) == 1) R(u);
            else {
                L(l[u]);
                R(u);
            }
        }
    } else {
        insert(r[u], x);
        if (get_balance(u) == -2) {
            if (get_balance(r[u]) == -1) L(u);
            else {
                R(r[u]);
                L(u);
            }
        }
    }
    
    update(u);
}

int q[N], pos[N];
void bfs(int root) {
    int hh = 0, tt = -1;
    q[++tt] = root;
    
    pos[root] = 1;      // 模拟完全二叉树
    bool flag = true;        // 是否是二叉树
    while(hh <= tt) {
        int u = q[hh++];
        if (pos[u] > n) flag = false;       // 超出完全二叉树的保存范围
        if (l[u]) {
            q[++tt] = l[u];
            pos[l[u]] = 2 * pos[u];
        }
        if (r[u]) {
            q[++tt] = r[u];
            pos[r[u]] = 2 * pos[u] + 1;
        }
    }
    
    string res;
    for (int i = 0; i < n; i++) res += to_string(w[q[i]]) + ' ';
    res.pop_back();
    cout << res << endl;
    
    if (flag) puts("YES");
    else puts("NO");
}

int main() {
    cin >> n;
    
    int x, root = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> x;
        insert(root, x);
    }
    
    bfs(root);
}

1135. Is It A Red-Black Tree

笔记

实际上只需要检查三个条件
- 根节点为黑（在建树后检查）
- 红结点的孩子都为黑结点（建树中检查）
- 根节点到叶节点的路径具有相同的黑结点个数（建树中检查）
建树依据
- 红黑树是一个平衡二叉树，其中序遍历序列就是所有结点的升序排序序列，
- 把前序遍历序列排序后就能得到中序序列，从而有可能根据前序和中序序列构造唯一的二叉树
注意
- 红色是负权值，在排序获取中序遍历序列时需要去掉符号再排序

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
using namespace std;
const int N = 35;
int n, pre[N], in[N];
unordered_map<int, int> pos;
bool flag;

int build(int pre_l, int pre_r, int in_l, int in_r, int& sum) {
    int root = pre[pre_l];
    int k = pos[abs(root)];
    if (k < in_l || k > in_r) {
        flag = false;
        return 0;
    }
    
    int left = 0, right = 0, ls = 0, rs = 0;
    if (k > in_l) left = build(pre_l + 1, pre_l + 1 + k - 1 - in_l, in_l, k - 1, ls);
    if (k < in_r) right = build(pre_l + 1 + k - 1 - in_l + 1, pre_r, k + 1, in_r, rs);
    
    if (ls != rs) flag = false;       // 黑结点个数不等

    sum = ls;       // 更新sum的值
    
    if (root < 0) {
        if (left < 0 || right < 0) flag = false; // 红色根节点存在黑结点孩子
    } else sum++;       // 根节点是黑结点，到叶节点的黑结点个数+1
    
    return root;
}

int main() {
    int t;
    cin >> t;
    while(t--) {
        cin >> n;
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> pre[i];
            in[i] = abs(pre[i]);
        }
        
        sort(in, in + n);
        // for (int i = 0; i < n; i++) cout << pre[i] << endl;
        
        for (int i = 0; i < n; i++) pos[in[i]] = i;
        
        int sum = 0;
        flag = true;
        int root = build(0, n - 1, 0, n - 1, sum);
        if (root < 0) flag = false;
        if (flag) puts("Yes");
        else puts("No");
        
        pos.clear();
    }
    
    return 0;
}

1053. Path of Equal Weight

笔记

可采用邻接矩阵存储多叉树
可用额外的叶节点数组标记结点是否是叶节点，提高算法效率
采用DFS即可找到所有到叶节点的路径

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 110, ROOT = 0;
int n, m, target;        // 结点个数，非叶子结点个数，目标权值
int w[N];           // 权重
bool g[N][N];       // 邻接矩阵存储多叉树
bool is_leaf[N];    // 是否是叶节点

vector<vector<int>> res;

void dfs(int u, int s, vector<int>& path) {
    if (is_leaf[u] && s == target) res.push_back(path);
    else {
        for (int v = 0; v < n; v++)
            if (g[u][v]) {
                path.push_back(w[v]);
                dfs(v, s + w[v], path);
                path.pop_back();
            }
    }
}

int main() {
    
    cin >> n >> m >> target;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> w[i];
    while(m--) {
        int u, k, v;
        cin >> u >> k;
        is_leaf[u] = true;       // 先标记非叶节点，等会儿再处理
        while(k--) {
            cin >> v;
            g[u][v] = true;     // 构造邻接矩阵
        }
    }
    
    for (int i = 0; i < n; i++) is_leaf[i] = !is_leaf[i];  // 变成正确含义
    
    vector<int> path{w[ROOT]};
    dfs(ROOT, w[ROOT], path);
    
    sort(res.begin(), res.end(), greater<vector<int>>());
    for (auto elem : res) {
        string line;
        for (int item : elem) line += to_string(item) + ' ';
        line.pop_back();
        cout << line << endl;
    }
    
    return 0;   
}

1094. The Largest Generation

笔记

用BFS找到结点数最多的层
BFS不仅能用queue实现，还可以用vector实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 110, ROOT = 1;
int n, m;           // 结点个数，非叶子结点个数
bool g[N][N];       // 邻接矩阵

vector<int> level[N];

void bfs(int root) {
    int l = 1;
    level[1].push_back(root);
    
    while(level[l].size()) {
        for (auto u : level[l])
            for (int v = 1; v <= n; v++)
                if (g[u][v]) level[l + 1].push_back(v);
        l++;
    }
    
    int max_l = 0, max_nodes = 0;
    for (int i = 1; i < l; i++)
        if (max_nodes < level[i].size()) {
            max_l = i;
            max_nodes = level[i].size();
        }
        
    cout << max_nodes << ' ' << max_l << endl;
}

int main() {
    
    cin >> n >> m;
    while(m--) {
        int u, k, v;
        cin >> u >> k;
        while(k--) {
            cin >> v;
            g[u][v] = true;
        }
    }
    
    bfs(ROOT);
    
    return 0;
}

码农公寓

第5章 树

1004. Counting Leaves

1020. Tree Traversals

1021. Deepest Root

1043. Is It a Binary Search Tree

1064. Complete Binary Search Tree

1086. Tree Traversals Again

1099. Build A Binary Search Tree

1102. Invert a Binary Tree

1110. Complete Binary Tree

1115. Counting Nodes in a BST

1119. Pre- and Post-order Traversals

1127. ZigZagging on a Tree

1138. Postorder Traversal

1066. Root of AVL Tree

1123. Is It a Complete AVL Tree.

1135. Is It A Red-Black Tree

1053. Path of Equal Weight

1094. The Largest Generation

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第5章树