雨中漫步

概率论

在平面上取一格点$P$P，求取到的$P$P点满足：连接原点$O$O和$P$P的线段$OP$OP上没有其他格点的概率

解：

答案：$\frac{6}{\pi ^2}$π26​

分析：首先我们要明确什么情况下$OP$OP线段没有格点比如处于$(3,1)$(3,1)的点$P$P没有格点，而处直线$OP$OP上的$Q$Q点要不满足$OQ$OQ上没有格点的情况，那么$Q$Q表示为$(3n,n)$(3n,n)，即：

满足条件的$P(m,n)$P(m,n)必然满足$m,n$m,n互质。下面通过两种方法求出概率值：

法一：

我们设$a,b$a,b最大公约数为$k$k的概率为$P(k)$P(k)，对整数$k$k来说，$a$a是$k$k的倍数的概率为$\frac{1}{k}$k1​，$b$b是$k$k的倍数的概率也为$\frac{1}{k}$k1​，设两整数互质的概率为$P_{0}$P0​
易知：
$P(k)=\frac{1}{k} \frac{1}{k} P_{0}$P(k)=k1​k1​P0​
所有的数都有最大公约数,所以：$\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}P_0}=1$k=1∑∞​k21​P0​=1
所以：
$P_0=\frac{1}{\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}}}=\frac{6}{\pi ^2}$P0​=k=1∑∞​k21​1​=π26​

法二：

考虑第一象限，将质数从小到大排列为$k_{1},k_{2},k_{3}...k_{n}...$k1​,k2​,k3​...kn​...那么
$m,n$m,n被质数$k_{i}$ki​整除的概为：$\frac{1}{k_{i}}$ki​1​。因此$m,n$m,n互质（即没有任何质数为公因数）的概率为$1-\frac{1}{{k_i}^2}$1−ki​21​
$\prod_{i=1}^{\infty}{\left( 1-\frac{1}{k_{i}^{2}} \right)}\\ =\frac{1}{\prod\limits_{i=1}^{\infty}{\left( 1+\frac{1}{p_{i}^{2}}+\frac{1}{p_{i}^{4}}+\frac{1}{p_{i}^{6}}... \right)}} \\ =\frac{1}{\left( 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}... \right) \left( 1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}... \right) \left( 1+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^4}... \right) ...} \\ =\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{2^2\cdot 3^2}+...}\\ =\frac{1}{\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}}\\ =\frac{6}{\pi ^2}$i=1∏∞​(1−ki2​1​)=i=1∏∞​(1+pi2​1​+pi4​1​+pi6​1​...)1​=(1+221​+241​...)(1+321​+341​...)(1+521​+541​...)...1​=1+221​+321​+241​+521​+22⋅321​+...1​=n=1∑∞​n21​1​=π26​
完毕
至于$\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}}=\frac{\pi ^2}{6}$k=1∑∞​k21​=6π2​
为什么有这个恒等式，可以将$y=|x|$y=∣x∣傅里叶展开或者$y=x^2$y=x2傅氏展开，或者利用weierstrass分解甚至二重积分等等都可以证明。

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