逻辑回归的代价函数2.3-吴恩达老师课程
逻辑回归的代价函数（也翻译作成本函数）。
为什么需要代价函数：
代价函数是衡量我们训练的模型的好坏程度。
为了训练逻辑回归模型的参数
w
w
w和参数
b
b
b，我们需要一个代价函数，通过训练代价函数来得到参数
w
w
w和参数
b
b
b。先看一下逻辑回归的输出函数：
为了让模型通过学习调整参数，你需要给予一个
m
m
m样本的训练集，这会让你在训练集上找到参数
w
w
w和参数
b
b
b，来得到你的输出。
对训练集的预测值 y ^ \hat{y} y^，我们更希望它会接近于训练集中的 y y y值。
损失函数：
损失函数又叫做误差函数，用来衡量算法的运行情况，Loss function:
L
(
y
^
,
y
)
L(\hat{y},y)
L(y^,y)
通过损失函数来衡量预测输出值和实际值有多接近。一般我们用预测值和实际值的平方差或者它们平方差的一半，但是通常在逻辑回归中我们不这么做，因为当我们在学习逻辑回归参数的时候，会发现我们的优化目标不是凸优化，只能找到多个局部最优值，梯度下降法很可能找不到全局最优值，虽然平方差是一个不错的损失函数，但是我们在逻辑回归模型中会定义另外一个损失函数。
逻辑回归中用到的损失函数是: L ( y ^ , y ) = − y l o g ( y ^ ) − ( 1 − y ) l o g ( 1 − y ^ ) L(\hat{y},y)=-ylog(\hat{y})-(1-y)log(1-\hat{y}) L(y^,y)=−ylog(y^)−(1−y)log(1−y^)
当使用平方误差作为损失函数的时候，你会想要让这个误差尽可能地小，对于这个逻辑回归损失函数，我们也想让它尽可能地小，为了更好地理解这个损失函数怎么起作用，我们举两个例子：
当
y
=
1
y=1
y=1时损失函数
L
=
−
l
o
g
(
y
^
)
L=-log(\hat{y})
L=−log(y^)，如果想要损失函数
L
L
L尽可能得小，那么
y
^
\hat{y}
y^就要尽可能大，因为sigmoid函数取值
[
0
,
1
]
[0,1]
[0,1]，所以
y
^
\hat{y}
y^会无限接近于1。
当
y
=
0
y=0
y=0时损失函数
L
=
−
l
o
g
(
1
−
y
^
)
L=-log(1-\hat{y})
L=−log(1−y^)，如果想要损失函数
L
L
L尽可能得小，那么
y
^
\hat{y}
y^就要尽可能小，因为sigmoid函数取值，所以会无限接近于0。
就是如果
y
y
y等于1，我们就尽可能让
y
^
\hat{y}
y^变大，如果等于0，我们就尽可能让
y
^
\hat{y}
y^变小。
损失函数是在单个训练样本中定义的，它衡量的是算法在单个训练样本中表现如何，为了衡量算法在全部训练样本上的表现如何，我们需要定义一个算法的代价函数，算法的代价函数是对 m m m个样本的损失函数求和然后除以 m m m: J ( w , b ) = 1 m s u m i = 1 n ( − y ( i ) l o g y ^ ( i ) − ( 1 − y ( i ) ) l o g ( 1 − y ^ ( i ) ) ) J(w,b)={{1}\over{m}}sum_{i=1}^n(-y^{(i)}log\hat{y}^{(i)}-(1-y^{(i)})log(1-\hat{y}^{(i)})) J(w,b)=m1sumi=1n(−y(i)logy^(i)−(1−y(i))log(1−y^(i)))损失函数只适用于像这样的单个训练样本，而代价函数是参数的总代价，所以在训练逻辑回归模型时候，我们需要找到合适的 w w w和 b b b，来让代价函数 J J J的总代价降到最低。