我是标题党【doge】······
最近在看SVM算法的原理，之前只知道用，但是对理论推导并不是很明白，这次算是复习一下，加深理解。

从感知机说起

要深入理解SVM，首先要从感知机说起。
什么是感知机呢？

感知机(perceptron)是二类分类的线性分类模型。
假设输入空间为χ⊆Rnχ⊆Rn,输出空间是y=−1,+1y=−1,+1.由输入空间到输出空间的如下函数f(x)=sign(ω⋅x+b)f(x)=sign(ω⋅x+b)称为感知机。

也就是说，我的ωω参数和bb参数，确定了一个分离超平面，将训练数据集划分为两个部分，分别为正类和负类。因此，我们需要知道ωω和b的值，确定这个超平面，那么来了一个新的数据，通过计算和这个超平面的距离，就知道它属于哪个类别了。

因此，我们的任务就变成了求ωω和bb的值是什么，从而确定分离超平面。
在这里，我们有一个前提条件，就是数据集是线性可分的。

那么如何求这两个参数呢？我们需要确定一个学习策略，即定义经验损失函数并将其极小化。也就是我们常说的loss.

在感知机中，我们选择的loss为误分类点到超平面的总距离，让这个总距离最小，这就是我们的优化目标。特征空间中任意一点x0x0到超平面的距离为：

对于误分类的数据(xi,yi)(xi,yi)来说，yi(ω⋅x+b)<0yi(ω⋅x+b)<0.因此，误分类点到分类超平面的距离就是−1∥ω∥yi|ω⋅x+b|−1‖ω‖yi|ω⋅x+b|
因此，所有误分类点到分类超平面的距离就是：

由于1∥ω∥1‖ω‖为常数，因此不考虑它。于是，我们得到了感知机的损失函数：

且该损失函数关于ωω和b连续可导。

有了学习策略，也就是我们的经验函数，接下来就是学习算法了。我们将学习问题转化为了优化问题，解决方法就是随机梯度下降（SGD），这里不展开说了。
对于感知机，学习算法有原始形式和对偶形式。

• 原始形式：
  
  1. 选取ω0,b0ω0,b0的初值，可以随机给。
  2. 在训练集中选取数据(xi,yi)(xi,yi)
  3. 如果yi(ωxi+b)<0yi(ωxi+b)<0(说明被分错了):
     
     ω←ω+ηyixiω←ω+ηyixi
     b←b+ηyib←b+ηyi
  4. 回到2，直至没有错分的点。

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• 对偶形式
  对偶形式的基本想法是，将ωω和b 表示为实例xixi和label yiyi的线性组合形式，通过求解其系数，求得ωω和b。
  按照上面的参数更新过程，我们设初始值都为0，那么经过n次迭代以后，ωω和b关于(xi,yi)(xi,yi)的增量为αiyixiαiyixi和αiyiαiyi,其中αiηαiη。因此，最后学习到的参数值分别可以表示为：
  
  ω=∑i=1Nαiyixiω=∑i=1Nαiyixi
  b=∑i=1Nαiyib=∑i=1Nαiyi
  
  基于此，感知机的模型就可以表示为f(x)=sign(∑Nj=1αjyjxj⋅x+b)f(x)=sign(∑j=1Nαjyjxj⋅x+b)
  实例点更新的次数越多，意味着它与分离超平面越近，越不好分。也就是说，这样的实例对学习的结果影响最大。

那么，对偶形式就可以如下表示了：
1. 参数为αα,b，赋初值为0.
2. 在训练集中选取数据(xi,yi)(xi,yi)
3. 如果(∑Nj=1αjyjxj⋅x+b)<=0(∑j=1Nαjyjxj⋅x+b)<=0:

4. 转2，直到没有误分类的点。

对偶形式中，训练集仅以内积的形式出现，为了方便，可以预先算出来存储下来，这个矩阵就是Gram矩阵

总结

1. 首先，感知机应用场景为，数据集是线性可分的，这是前提。
2. 感知机的经验损失函数为误分类点到分离超平面的距离和，让这个距离和达到最小。
3. 感知机学习得到的分离超平面并不唯一，有无穷多解。解由于初值不同或者迭代顺序不同而可能有所不同。
4. 学习算法为随机梯度下降.有原始形式和对偶形式。