2.4习题
习题21——捕食者猎物系统的向量场
捕食者猎物系统也称为LotkaVolterra系统，由下式表示：
x·1(t)=(1－x2(t))x1(t)

x·2(t)=(x1(t)－1)x2(t)
状态变量x1(t)和x2(t)表示捕食者和猎物的数目。例如，x1表示猎物以千计数量，x2表示捕食者以千计数量。即使猎物和捕食者的数目是整数，我们仍假设x1和x2是实数。该状态方程的二次项表示两者之间的相互影响。当没有捕食者时，猎物会以指数形式进行增长。同样，当没有猎物时捕食者的数目会减少。
（1）图24是在网格［0,2］×［0,2］范围内对应的演化函数的向量场：
f(x)=(1－x2)x1

(x1－1)x2
用这个图来讨论该系统的动力学行为。
（2）也利用该图，给出平衡点并通过计算进行验证。

图24LotkaVolterra系统在(x1, x2)平面的向量场

图25状态向量为x=(x1,x2)T=(θ,θ·)T的单摆

习题22——单摆的向量场
考虑由以下状态方程描述的单摆：
x·1=x2

x·2=－gsinx1
与演化函数f(x)对应的向量场如图26所示。
（1）根据图示，给出平衡状态的稳定点和不稳定点。
（2）根据欧拉法在图中画出单摆的轨迹。

图26单摆在相平面(x1,x2)=(θ,θ·)中的向量场

习题23——立方体模式
考虑三维立方体［0,1］×［0,1］×［0,1］。
(1)以矩阵形式给出它的模式。
(2)为了让它绕着Ox轴旋转角度θ，如何进行矩阵操作？

习题24——绘制汽车
下面要设计一个名为voiture_draw(x)的MATLAB函数，用它绘制汽车在状态x=(x,y,θ,v,δ)T的图形，其中x, y, θ分别表示汽车的位姿（位置和方向），v表示汽车的速度，而δ是前轮的角度。
1)用齐次坐标定义底盘模式和两个前轮的共同模式。
2)定义底盘，左前轮和右前轮的变换矩阵。
3)写出名为car_draw(x)的MATLAB函数，用它绘制出给定状态x下的小汽车。
习题25——单摆的仿真
考虑由以下差分方程描述的单摆：
θ··=－gsinθl
其中，θ表示单摆的角度，g=981ms-2，l=1m。在时刻t=0对单摆初始化，对应的θ=1且θ·=0rad·s-1，然后放开单摆让其*运动。编写一个基于欧拉法的小程序（用类似MATLAB的语法），计算t=1s时单摆的角度。
习题26——Van der Pol系统
考虑由以下差分方程描述的系统：
y··+(y2－1)y·+y=0

1)选择状态向量为x=(yy·)T，给出系统的状态方程。
2)在平衡点附近对系统线性化，求出系统的极点。该系统在平衡点附近是否稳定？
3)系统在状态空间(x1, x2)的向量场如图27所示，系统初始化为x0=(010)T，在图中画出系统在状态空间的路径x(t)，并给出y(t)的形式。

图27Van der Pol系统的向量场

4)路径可能是一个环吗？
5)对该系统进行仿真，选择欧拉法还是龙格库塔法可以得到更好的效果，抑或两者效果相当？

习题27——汽车仿真
考虑由以下状态方程描述的汽车：
x·

y·

θ·

v·

δ·=vcosδcosθ
vcosδsinθ
vsinδL
u1
u2

给定状态向量x=(x,y,θ,v,δ)T，汽车初始状态为x(0)=(00070)T，即在时刻t=0，车辆在原点，方向角为0，速度为7ms-1，且前轮与车轴平行。设控制向量u(t)保持为常量且等于(0 02)T，这意味着车辆不会加速（因为u1=0），同时方向盘以恒定速度02rad·s－1旋转（因为u2=02）。编写一个MATLAB程序，要求以001s的采样步长和欧拉法仿真10s内车辆的动态变化。
习题28——用泰勒法的积分
考虑由下述状态方程描述的机器人（如坦克）：
x·1
x·2
x·3
x·4
x·5=x4cosx3
x4sinx3
x5
u1
u2
试用泰勒法给出二阶积分，其输入为：
u=u1
u2=cos(t)
sin(t)
习题29——三轮车车轮的半径
考虑如图28所示三轮车的三维表示，图中的小黑点在高度为r的同一水平面上，空心小圈则在高度为0的同一个水平面上。

图28三轮车一个*半径的示意图

图中用粗线表示的前轮半径与水平面之间的夹角为α。给出x, y, θ, δ, α, L, r的函数和在Ox轴上的半径（粗线）位置与前轮之间的变换矩阵表达式（用齐次坐标），表达式应为矩阵乘法的形式。
习题210——用MATLAB对三轮车进行三维仿真
图29中三轮车的驱动程序有两个控制：前轮的加速度及方向盘的旋转速度。该系统的状态变量由位置坐标（后桥中心的坐标（x, y）、三轮车的方向角θ以及前轮的角度δ）和前轮中心的速度v组成。从习题111可知，三轮车的演化方程（与汽车类似）为：

其中，L=3为后桥和前轮中心的距离，状态向量为x=(x, y, θ, v, δ)T，每个后轮与三轮车轴的距离为e=2m，*半径为r=1m。

图29用于仿真的三轮车机器人

1)建立三轮车车体的模式，用齐次坐标和Rodrigues公式在3维空间对其进行旋转和平移。
2)创建tricycle_draw函数，参考图210，画出带有*的三轮车的三维图形。这个函数以状态向量x作为参数。
3)用速度合成法，计算每个*的速度。
4)根据三轮车行驶过程中*（对应图中的编号1到3）的旋转状态，增加3个状态变量α1、α2、α3，分别对应三个*的角度，给出系统新的状态方程，并用MATLAB对该系统进行仿真。

习题211——机械臂
图211所示的机器人操作手由三个机械臂串联构成。第一个臂长度为3，可绕Oz轴旋转。第二个臂长度为2，位于第一个臂的末端，也绕Oz轴旋转。第三个臂长度为1，位于第二个臂的末端，可绕第二个臂的轴旋转。该机器人有3个*度x=(α1, α2, α3)，其中αi表示每个机械臂的角度。选择单位立方体来表示每个机械臂的基本模式，假设每个机械臂是一个厚度为03的平行六面体。为了符合机械臂的形式，其模式必须是类似的，用对角阵来表示。其次，为了获得正确的位置，它还可以进行旋转和平移。设计一个MATLAB程序对该系统进行仿真，并具有图中类似的3D显示。

图211由三个机械臂构成的机器人操作手

习题212——用MATLAB对溜冰机器人进行仿真和控制
图212所示的溜冰车有5只冰鞋，可在结冰的湖面上滑动［JAU 10］。该系统有两个输入：前冰鞋角度β的正切值u1（为了避免奇异点，选择正切值作为输入）和夹角为δ的两个雪橇结合处的转矩u2。推力仅仅来源于转矩u2，它与蛇或鳗鱼的推力模式相似［BOY 06］。而对u1的控制并不能给系统任何能量。

图212溜冰机器人

1)证明：系统可以由以下状态方程描述。

式中，v是前轴中心的速度。这是一个简化和归一化模型，为简化起见，统一选取单位系数（质量、黏性摩擦、轴间距等）。
2)用欧拉法对系统仿真2s，初始状态为x=(0, 0, 0, 3, 05)T，采样周期为dt=005s，输入为u=(1, 0)T，并对结果进行讨论。
3)尝试用仿生学控制该系统，如重现蛇的推进方式，选取u1为以下形式：
u1=p1cos(p2t)+p3
其中,p1是幅度，p2是脉冲，p3是偏差。选取推进转矩u2为推动力，即δ··u2≥0，δ··u2对应机器人的能量，它被转换为动能。对该控制进行编程，并且选择恰当的参数以保证有效的推进，在你的电脑中再现如图213的两种行为。

图213受控溜冰机器人的仿真

4)增加第二个控制环去控制控制器参数pi，使机器人能够跟踪一个期望的航向角θ。