鞅
一些定义：
- 随机过程：依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。即假设 T T T 是指标集，且对于任意 t ∈ T t\in T t∈T， X t X_t Xt 都是一随机变量，那么我们就可以称 { X t ∣ t ∈ T } \{X_t|t\in T\} {Xt∣t∈T} 为一随机过程。
- 条件概率： P ( A ∣ B ) P(A|B) P(A∣B)，表示事件 A A A 在事件 B B B 发生的条件下发生的概率。
- 独立同分布：对于随机变量 X 1 , ⋯ , X n X_1,\cdots,X_n X1,⋯,Xn，若它们服从同一分布，并且互相独立，就称这些变量独立同分布。
- V a r ( X ) Var(X) Var(X)：为随机变量 X X X 的方差，等于 E ( ( X − E ( X ) ) 2 ) E((X-E(X))^2) E((X−E(X))2)，展开后也等于 E ( X 2 ) − E ( X ) 2 E(X^2)-E(X)^2 E(X2)−E(X)2。
接下来介绍鞅的定义，一种最基础的鞅的定义是：
称离散随机过程 { X 0 , X 1 , ⋯ } \{X_0,X_1,\cdots\} {X0,X1,⋯} 是鞅，若对于任意的 n n n 都满足：
-
E ( ∣ X n ∣ ) < ∞ E(|X_n|)<\infty E(∣Xn∣)<∞。
-
E ( X n + 1 ∣ X n , ⋯ , X 0 ) = X n E(X_{n+1}|X_n,\cdots,X_0)=X_n E(Xn+1∣Xn,⋯,X0)=Xn。
这里 X n , ⋯ , X 0 X_n,\cdots,X_0 Xn,⋯,X0 作为条件概率里的条件，意思是假设随机变量 X n , ⋯ , X 0 X_n,\cdots,X_0 Xn,⋯,X0 已经确定了。即其等价于： ∀ x 0 , x 1 , ⋯ , x n , E ( X n + 1 ∣ X n = x n , ⋯ , X 0 = x 0 ) = X n \forall x_0,x_1,\cdots,x_n,E(X_{n+1}|X_n=x_{n},\cdots,X_0=x_0)=X_n ∀x0,x1,⋯,xn,E(Xn+1∣Xn=xn,⋯,X0=x0)=Xn。
一个扩展一点的定义：
称离散随机过程 { Y 0 , Y 1 , ⋯ } \{Y_0,Y_1,\cdots\} {Y0,Y1,⋯} 关于随机过程 { X 0 , X 1 , ⋯ } \{X_0,X_1,\cdots\} {X0,X1,⋯} 是鞅，若对于任意的 n n n 都满足：
- E ( ∣ Y n ∣ ) < ∞ E(|Y_n|)<\infty E(∣Yn∣)<∞。
- E ( Y n + 1 ∣ X n , ⋯ , X 0 ) = Y n E(Y_{n+1}|X_n,\cdots,X_0)=Y_n E(Yn+1∣Xn,⋯,X0)=Yn。
注意，第二个条件意味着 Y n Y_n Yn 仅可能与 X n , ⋯ , X 0 X_n,\cdots,X_0 Xn,⋯,X0 有关，即在 X n , ⋯ , X 0 X_n,\cdots,X_0 Xn,⋯,X0 确定的情况下， Y n Y_n Yn 也是确定的。
观察鞅的定义，我们可以得到这么一个结论：假设 Y n Y_n Yn 是关于 X n X_n Xn 的鞅，那么 ∀ t , E ( Y t ) = E ( Y 0 ) \forall t,E(Y_t)=E(Y_0) ∀t,E(Yt)=E(Y0)。
但注意这个结论并不和鞅定义中第二个条件等价，鞅定义中的第二个条件会比这个结论更加严格。
除此之外还有上鞅和下鞅：如果鞅的第二个条件中的符号变为 $\leq $ 则称其为上鞅；如果变为 ≥ \geq ≥，则称其为下鞅。注意这和 “上”、“下” 的直觉相反。
一道例题：
考虑一个简单的随机游走过程，即 S n = ∑ k = 1 n X k S_n=\sum_{k=1}^nX_k Sn=∑k=1nXk，且 P ( X i = 1 ) = P ( X i = − 1 ) = 1 2 P(X_i=1)=P(X_i=-1)=\frac{1}{2} P(Xi=1)=P(Xi=−1)=21。
-
求证： S n S_n Sn 是一个关于 X n X_n Xn 的鞅。
证明：第一个条件： E ( ∣ S n ∣ ) ≤ n < ∞ E(|S_n|)\leq n<\infty E(∣Sn∣)≤n<∞。
第二个条件： E ( S n + 1 − S n ∣ X n , ⋯ , X 0 ) = E ( X n + 1 ∣ X n , ⋯ , X 0 ) = E ( X n + 1 ) = 0 E(S_{n+1}-S_n|X_n,\cdots,X_0)=E(X_{n+1}|X_n,\cdots,X_0)=E(X_{n+1})=0 E(Sn+1−Sn∣Xn,⋯,X0)=E(Xn+1∣Xn,⋯,X0)=E(Xn+1)=0。
-
求证： Y n = S n 2 − n Y_n=S_n^2-n Yn=Sn2−n 是一个关于 X n X_n Xn 的鞅。
证明：第一个条件： E ( ∣ S n 2 − n ∣ ) ≤ E ( S n 2 ) ≤ n 2 < ∞ E(|S_n^2-n|)\leq E(S_n^2)\leq n^2<\infty E(∣Sn2−n∣)≤E(Sn2)≤n2<∞。第二个条件：
E ( Y n + 1 − Y n ∣ X n , ⋯ , X 0 ) = E ( ( S n + 1 2 − ( n + 1 ) ) − ( S n 2 − n ) ∣ X n , ⋯ , X 0 ) = E ( S n + 1 2 − S n 2 − 1 ∣ X n , ⋯ , X 0 ) = 1 2 ( ( S n + 1 ) 2 + ( S n − 1 ) 2 ) − S n 2 − 1 = 0 \begin{aligned} &E(Y_{n+1}-Y_{n}|X_n,\cdots,X_0)\\ =&E((S_{n+1}^2-(n+1))-(S_n^2-n)|X_n,\cdots,X_0)\\ =&E(S_{n+1}^2-S_n^2-1|X_n,\cdots,X_0)\\ =&\tfrac{1}{2}((S_n+1)^2+(S_n-1)^2)-S_n^2-1\\ =&0 \end{aligned} ====E(Yn+1−Yn∣Xn,⋯,X0)E((Sn+12−(n+1))−(Sn2−n)∣Xn,⋯,X0)E(Sn+12−Sn2−1∣Xn,⋯,X0)21((Sn+1)2+(Sn−1)2)−Sn2−10
鞅的停时定理
一些定义：
-
几乎一定：一个事件 A A A 几乎一定会发生当且仅当事件 A A A 发生的概率为 1 1 1。即 A A A 不发生的情况集合可能是非空的，但它们对应的概率为 0 0 0。在样本空间有限时，“几乎一定” 和 “一定” 通常没有区别。但在样本空间无限时，这种区别变得非常重要，因为无限集可以有出现概率为 0 0 0 的非空子集。
例子：在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] 中任选一个实数，选出的数几乎一定大于 0 0 0。
下面可能还要注意 “趋近于” 和 “等于” 的区别：比如 0 0 0 乘任何数一定是 0 0 0（注意 ∞ \infty ∞ 不是 “数”），但一个趋近于 0 0 0 的数乘上一个趋近于 ∞ \infty ∞ 的数我们不知道它是什么。
-
停时：关于随机过程 { X 0 , X 1 , ⋯ } \{X_0,X_1,\cdots\} {X0,X1,⋯} 的停时是一个非负的随机变量 T T T（可能为 ∞ \infty ∞），满足对于任意的 n n n， [ n = T ] [n=T] [n=T] 的取值仅与 X 0 , ⋯ , X n X_0,\cdots,X_n X0,⋯,Xn 有关。直观地说，对于任意的时间 n n n，你可以仅通过 X 0 , ⋯ , X n X_0,\cdots,X_n X0,⋯,Xn 判断 T , n T,n T,n 的大小关系（当然若 T ≤ n T\leq n T≤n，你也可以得到 T T T 的具体取值）。
-
带停时的随机过程：对于随机过程 { X 0 , X 1 , ⋯ , } \{X_0,X_1,\cdots,\} {X0,X1,⋯,}，设其停时为 T T T，定义该随机过程所对应的带停时的随机过程 { X ˉ 0 , X ˉ 1 , ⋯ } \{\bar X_0,\bar X_1,\cdots\} {Xˉ0,Xˉ1,⋯}：
X ˉ n = { X n , n ≤ T X T , n > T \bar X_n= \begin{cases} X_n,&n\leq T\\ X_T,&n>T \end{cases} Xˉn={Xn,XT,n≤Tn>T
当然，一些文章中可能会直接用 X min ( n , T ) X_{\min(n,T)} Xmin(n,T) 代替 X ˉ n \bar X_n Xˉn。直观地说， { X ˉ 0 , X ˉ 1 , ⋯ } \{\bar X_0,\bar X_1,\cdots\} {Xˉ0,Xˉ1,⋯} 就是把 { X 0 , X 1 , ⋯ } \{X_0,X_1,\cdots\} {X0,X1,⋯} 改成在停时之后维持不变的结果。
注意停时 T T T 只是一个关于 { X 0 , X 1 , ⋯ , } \{X_0,X_1,\cdots,\} {X0,X1,⋯,} 的函数，并不是说一个随机过程有停时它就是带停时的。
我们可以证明某个鞅带停时后也是一个鞅：
-
引理 1：设 Y n Y_n Yn 是一个关于 X n X_n Xn 的鞅，那么 Y ˉ n \bar Y_n Yˉn 也是一个关于 X n X_n Xn 的鞅。
证明：我们只需要证明 E ( Y ˉ n + 1 ∣ X n , ⋯ , X 0 ) = Y ˉ n E(\bar Y_{n+1}|X_n,\cdots,X_0)=\bar Y_n E(Yˉn+1∣Xn,⋯,X0)=Yˉn 即可。
注意 X n , ⋯ , X 0 X_n,\cdots,X_0 Xn,⋯,X0 是已知的，所以我们可以得到 T , n T,n T,n 的大小关系：
- 若 T ≤ n T\leq n T≤n，则 Y ˉ n + 1 = Y ˉ n \bar Y_{n+1}=\bar Y_n Yˉn+1=Yˉn。
- 若 T > n T>n T>n，则 E ( Y ˉ n + 1 ∣ X n , ⋯ , X 0 ) = E ( Y n + 1 ∣ X n , ⋯ , X 0 ) = Y n = Y ˉ n E(\bar Y_{n+1}|X_n,\cdots,X_0)=E(Y_{n+1}|X_n,\cdots,X_0)=Y_n=\bar Y_{n} E(Yˉn+1∣Xn,⋯,X0)=E(Yn+1∣Xn,⋯,X0)=Yn=Yˉn。
直观地说，对于那些未到停时的过程它们原来就是期望不变的，对于那些已经到停时的过程由于我们已经钦定它们不变了，所以它们也是期望不变的。
推论： ⋯ = E ( Y ˉ 1 ) = E ( Y ˉ 0 ) = E ( Y 0 ) = E ( Y 1 ) = ⋯ \cdots=E(\bar Y_1) =E(\bar Y_0)=E(Y_0)=E(Y_1)=\cdots ⋯=E(Yˉ1)=E(Yˉ0)=E(Y0)=E(Y1)=⋯。直观上也很容易解释。
接下来介绍鞅的停时定理：
设 { Y 0 , Y 1 , ⋯ } \{Y_0,Y_1,\cdots\} {Y0,Y1,⋯} 是一个鞅， T T T 是其停时，且 T T T 几乎一定有限（ P ( T < ∞ ) = 1 P(T<\infty)=1 P(T<∞)=1），若有下列条件之一成立，则有 E ( Y T ) = E ( Y 0 ) E(Y_T)=E(Y_0) E(YT)=E(Y0)：
-
T T T 几乎一定有界，即存在一个常数 K K K 使得 P ( T ≤ K ) = 1 P(T\leq K)=1 P(T≤K)=1。
证明：
E ( Y T ) = P ( T ≤ K ) E ( Y T ∣ T ≤ K ) + P ( T > K ) E ( Y T ∣ T > k ) = E ( Y T ∣ T ≤ K ) = E ( Y ˉ K ) = E ( Y 0 ) ： \begin{aligned} E(Y_T)&=P(T\leq K)E(Y_T|T\leq K)+P(T>K)E(Y_T|T>k)\\ &=E(Y_T|T\leq K)\\ &=E(\bar Y_K)\\ &=E(Y_0) \end{aligned}： E(YT)=P(T≤K)E(YT∣T≤K)+P(T>K)E(YT∣T>k)=E(YT∣T≤K)=E(YˉK)=E(Y0)：
一些帮助理解的例子：- 数轴上从 0 0 0 开始向右游走，每次走长度 1 1 1 或长度 2 2 2，走到当前位置大于等于特定常数 S S S 为止。这个是 T T T 有界的例子。
- 从 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] 中每次随机选一个实数，直到选出非 0 0 0 数为止。这是 T T T 不有界但几乎一定有界的例子。
- 每次抛一枚硬币，直到抛出反面位置。这是 T T T 不几乎一定有界的例子。因为对于任意的 K K K， P ( T > K ) = 1 2 K P(T>K)=\frac{1}{2^K} P(T>K)=2K1，而即使是 K K K 趋近于 ∞ \infty ∞ 时， P ( T > K ) P(T>K) P(T>K) 也只是趋近于 0 0 0，而不等于 0 0 0。
-
Y ˉ n \bar Y_n Yˉn 几乎一定有界，即存在一个常数 K K K 使得 P ( ∣ Y ˉ n ∣ ≤ K ) = 1 P(|\bar Y_n|\leq K)=1 P(∣Yˉn∣≤K)=1。
证明：
E ( Y T ) = lim n → ∞ P ( T ≤ n ) E ( Y T ∣ T ≤ n ) + P ( T > n ) E ( Y T ∣ T > n ) = lim n → ∞ P ( T ≤ n ) E ( Y ˉ n ∣ T ≤ n ) + P ( T > n ) ⋅ O ( 1 ) = lim n → ∞ P ( T ≤ n ) E ( Y ˉ n ∣ T ≤ n ) = lim n → ∞ E ( Y ˉ n ) − P ( T > n ) E ( Y ˉ n ∣ T > n ) = lim n → ∞ E ( Y ˉ n ) − P ( T > n ) ⋅ O ( 1 ) = lim n → ∞ E ( Y ˉ n ) = E ( Y 0 ) \begin{aligned} E(Y_T)&=\lim_{n\to \infty}P(T\leq n)E(Y_T|T\leq n)+P(T>n)E(Y_T|T>n)\\ &=\lim_{n\to \infty}P(T\leq n)E(\bar Y_n|T\leq n)+P(T>n)\cdot O(1)\\ &=\lim_{n\to \infty}P(T\leq n)E(\bar Y_n|T\leq n)\\ &=\lim_{n\to \infty}E(\bar Y_n)-P(T>n)E(\bar Y_n|T>n)\\ &=\lim_{n\to \infty}E(\bar Y_n)-P(T>n)\cdot O(1)\\ &=\lim_{n\to \infty}E(\bar Y_n)\\ &=E(Y_0) \end{aligned} E(YT)=n→∞limP(T≤n)E(YT∣T≤n)+P(T>n)E(YT∣T>n)=n→∞limP(T≤n)E(Yˉn∣T≤n)+P(T>n)⋅O(1)=n→∞limP(T≤n)E(Yˉn∣T≤n)=n→∞limE(Yˉn)−P(T>n)E(Yˉn∣T>n)=n→∞limE(Yˉn)−P(T>n)⋅O(1)=n→∞limE(Yˉn)=E(Y0)
一些帮助理解的例子：- 数轴上从 0 0 0 开始随机游走，每次等概率向左或向右移动 1 1 1，走到 − m -m −m 或 m m m 为止。那么第 n n n 步之后的位置 S n S_n Sn 肯定有界 [ − m , m ] [-m,m] [−m,m]。
-
E ( T ) E(T) E(T) 有限。且 E ( ∣ Y n + 1 − Y n ∣ ) E(|Y_{n+1}-Y_n|) E(∣Yn+1−Yn∣) 几乎一定有界，即存在一个常数 K K K 使得 P ( E ( ∣ Y n + 1 − Y n ∣ ) ≤ K ) = 1 P(E(|Y_{n+1}-Y_n|)\leq K)=1 P(E(∣Yn+1−Yn∣)≤K)=1。
证明：
lim t → ∞ E ( Y T − Y t ) = lim t → ∞ P ( T > t ) E ( Y T − Y t ∣ T > t ) = lim t → ∞ ∑ i = t ∞ P ( T > i ) E ( Y i + 1 − Y i ∣ T > i ) ≤ lim t → ∞ ∑ i = t ∞ P ( T > i ) K = K lim t → ∞ ∑ i = t ∞ P ( T > i ) = K lim t → ∞ ∑ i = t ∞ P ( T = i ) ( i − t ) ≤ K lim t → ∞ ∑ i = t ∞ P ( T = i ) i \begin{aligned} &\lim_{t\to \infty}E(Y_T-Y_t)\\ =&\lim_{t\to \infty}P(T>t)E(Y_T-Y_t|T>t)\\ =&\lim_{t\to \infty}\sum_{i=t}^{\infty}P(T>i)E(Y_{i+1}-Y_i|T>i)\\ \leq &\lim_{t\to \infty}\sum_{i=t}^{\infty}P(T>i)K\\ =&K\lim_{t\to\infty}\sum_{i=t}^{\infty}P(T>i)\\ =&K\lim_{t\to \infty}\sum_{i=t}^{\infty}P(T=i)(i-t)\\ \leq &K\lim_{t\to \infty}\sum_{i=t}^{\infty}P(T=i)i\\ \end{aligned} ==≤==≤t→∞limE(YT−Yt)t→∞limP(T>t)E(YT−Yt∣T>t)t→∞limi=t∑∞P(T>i)E(Yi+1−Yi∣T>i)t→∞limi=t∑∞P(T>i)KKt→∞limi=t∑∞P(T>i)Kt→∞limi=t∑∞P(T=i)(i−t)Kt→∞limi=t∑∞P(T=i)i
考虑设 S n = ∑ i = 0 n P ( T = i ) i S_n=\sum_{i=0}^nP(T=i)i Sn=∑i=0nP(T=i)i，显然数列 S n S_n Sn 趋近于数 E ( T ) E(T) E(T)，那么 E ( T ) − S n E(T)-S_n E(T)−Sn 趋近于 0 0 0，所以上式等于 0 0 0。故：
E ( Y T ) = lim t → ∞ E ( Y t ) = E ( Y 0 ) E(Y_T)=\lim_{t\to \infty}E(Y_t)=E(Y_0) E(YT)=t→∞limE(Yt)=E(Y0)
一些帮助理解的例子：- 首先注意前提条件中的 P ( T < ∞ ) = 1 P(T<\infty)=1 P(T<∞)=1 并不代表着 E ( T ) < ∞ E(T)<\infty E(T)<∞。比如我们这么构造停时为 i i i 的概率： P ( T = i ) = p i = 6 π 2 ⋅ 1 i 2 P(T=i)=p_i=\frac{6}{\pi^2}\cdot \frac{1}{i^2} P(T=i)=pi=π26⋅i21，显然 ∑ i ≥ 0 p i \sum_{i\geq 0}p_i ∑i≥0pi 收敛于 1 1 1，所以 P ( T < ∞ ) = 1 P(T<\infty)=1 P(T<∞)=1。但如果我们要求 E ( T ) = ∑ i ≥ 0 p i i = 6 π 2 ∑ i ≥ 0 1 i E(T)=\sum_{i\geq 0}p_ii=\frac{6}{\pi^2}\sum_{i\geq 0}\frac{1}{i} E(T)=∑i≥0pii=π26∑i≥0i1，会发现它并不收敛，而是发散的。
讲一个应用的例子吧：
CF1349D Slime and Biscuits
题意：
有 n n n 个人，每个人拥有 A i A_i Ai 块饼干。
每次随机将一块饼干等概率分给除了其所有者以外的人。
求第一次出现有一个人拥有所有饼干的所需的期望次数。
做法：
停时与 a a a 序列有关，我们考虑构造一个鞅，同时携带了 A A A 序列和时间这两个信息。
我们大胆地猜想，我们可以构造一个关于 A A A 序列的函数 F ( A ) F(A) F(A) 使得 Y t = F ( A t ) + t Y_t=F(A_t)+t Yt=F(At)+t 为鞅。进一步的猜想是令 F ( A ) = ∑ i = 1 n f ( a i ) F(A)=\sum_{i=1}^nf(a_i) F(A)=∑i=1nf(ai)。
那么我们就需要满足：
E
(
Y
t
+
1
−
Y
t
∣
A
t
)
=
0
E(Y_{t+1}-Y_t|A_t)=0
E(Yt+1−Yt∣At)=0
展开后得到：
1
+
∑
i
=
1
n
(
m
−
A
t
,
i
m
⋅
n
−
2
n
−
1
−
1
)
f
(
A
t
,
i
)
+
A
t
,
i
m
f
(
A
t
,
i
−
1
)
+
m
−
A
t
,
i
m
⋅
1
n
−
1
f
(
A
t
,
i
+
1
)
=
0
1+\sum_{i=1}^n\left(\frac{m-A_{t,i}}{m}\cdot \frac{n-2}{n-1}-1\right)f(A_{t,i})+\frac{A_{t,i}}{m}f(A_{t,i}-1)+\frac{m-A_{t,i}}{m}\cdot \frac{1}{n-1}f(A_{t,i}+1)=0
1+i=1∑n(mm−At,i⋅n−1n−2−1)f(At,i)+mAt,if(At,i−1)+mm−At,i⋅n−11f(At,i+1)=0
一个技巧是把
1
1
1 拆到里面去：
∑
i
=
1
n
(
m
−
A
t
,
i
m
⋅
n
−
2
n
−
1
−
1
)
f
(
A
t
,
i
)
+
A
t
,
i
m
f
(
A
t
,
i
−
1
)
+
m
−
A
t
,
i
m
⋅
1
n
−
1
f
(
A
t
,
i
+
1
)
+
A
t
,
i
m
=
0
\sum_{i=1}^n\left(\frac{m-A_{t,i}}{m}\cdot \frac{n-2}{n-1}-1\right)f(A_{t,i})+\frac{A_{t,i}}{m}f(A_{t,i}-1)+\frac{m-A_{t,i}}{m}\cdot \frac{1}{n-1}f(A_{t,i}+1)+\frac{A_{t,i}}{m}=0
i=1∑n(mm−At,i⋅n−1n−2−1)f(At,i)+mAt,if(At,i−1)+mm−At,i⋅n−11f(At,i+1)+mAt,i=0
注意到这个式子对于
A
t
A_t
At 为任意序列都成立，所以为了不失一般性，我们应该令：
(
m
−
x
m
⋅
n
−
2
n
−
1
−
1
)
f
(
x
)
+
x
m
f
(
x
−
1
)
+
m
−
x
m
⋅
1
n
−
1
f
(
x
+
1
)
+
x
m
=
0
\left(\frac{m-x}{m}\cdot \frac{n-2}{n-1}-1\right)f(x)+\frac{x}{m}f(x-1)+\frac{m-x}{m}\cdot \frac{1}{n-1}f(x+1)+\frac{x}{m}=0
(mm−x⋅n−1n−2−1)f(x)+mxf(x−1)+mm−x⋅n−11f(x+1)+mx=0
对于任意的
x
∈
[
0
,
m
]
x\in[0,m]
x∈[0,m]。
解出 f f f 即可，可以做到 O ( m ) O(m) O(m)。那么 E ( T ) = E ( F ( A T ) + T ) − E ( F ( A T ) ) = E ( Y T ) − E ( F ( A T ) ) = E ( Y 0 ) − E ( F ( A T ) ) E(T)=E(F(A_T)+T)-E(F(A_T))=E(Y_T)-E(F(A_T))=E(Y_0)-E(F(A_T)) E(T)=E(F(AT)+T)−E(F(AT))=E(YT)−E(F(AT))=E(Y0)−E(F(AT)).
至于为什么这个鞅能用鞅的停时定理，我们可以发现它满足
E
(
∣
Y
t
+
1
−
Y
t
∣
)
E(|Y_{t+1}-Y_t|)
E(∣Yt+1−Yt∣) 有界，但
E
(
T
)
<
∞
E(T)<\infty
E(T)<∞ 这个我不会证。（但既然题目都让你求它了那它肯定就是有限的）