chapter 4：添加一个球体

文章翻译

  让我们一起给光线追踪器添加一个简单的物体，人们经常在光线追踪中使用球体，因为计算光线是否击中球体是非常简单的。回忆一下球体中心在原点且半径为R的方程式，x * x + y * y + z * z = R * R. 你所读到的方程对任何的（x，y，z）都适用，如果这个等式成立，则点在球体上，否则点就不在球体上，如果球体中心在(cx，cy，cz），则方程式就变得难看： (x-cx) * (x-cx) + (y-cy) * (y-cy) + (z-cz) * (z-cz)= R * R
  在图形学中，你几乎总是想让你的公式用向量的形式表达，因此所有的x/y/z都在 class vec3 。你或许可以这样表示，从中心 C = (cx,cy,cz) 到点 p = (x,y,z) 的向量是 (p - C). 并且点积可以这样表示， ((p - C),(p - C)) = (x-cx)(x-cx) + (y-cy)(y-cy) + (z-cz)*(z-cz) ，因此球体方程的向量表达形式是： dot((p - c),(p - c)) = R * R
  你可以认为满足这个方程的任何点都在球体上，我们想知道我们的光线 p(t) = A + tB* 是否击中球体的任意位置。如果有击中球体，则有某项 t 能使 p(t) 满足球体方程，因此我们寻求能使这个方程成立的所有 t ： dot((p(t) - c),(p(t) - c)) = R * R ，将 p(t) 的形式展开得： dot((A + tB - C),(A + tB - C)) = R*R
  向量代数得规则在这里是我们想要得，如果我们将公式扩展并把所有参数移到等号左边，我们可以得到： t * t * dot(B,B) + 2 * t * dot(B,A-C) + dot(A-C,A-C) - R*R = 0
  在等式中得向量和R都是常量，这是我们所知道的。未知数是 t，并且等式是二次的，就如你在高中数学课上所见的那样。你可以解出 t，平方根部分解出来可能两个都是正数（意味着两个真实解），两个都是负数（意味着没有真实解）或者为零（意味着有一个真实解）。在图形学中，代数几乎总是和几何有着非常直接的联系。我们可以得到如下：

  如果我们使用这个数学公式并把它写入我们的程序里，我们可以通过将与放置在z轴-1位置的小球相交的像素点设置为红色来测试这段代码：

  我们可以得到：

  现在这个程序还缺少各种各样的东西——像阴影效果，光线反射，以及许多个物体——但是与刚开始相比，我们已经做了近一半！值得注意的事情是，我们要测试光线是否一直击中球体，而 t < 0 部分的解也起了作用。如果你改变你的球体中心到z轴+1位置，实际上，你将得到相同的图片，因为你看到了在你身后的物体。这不是一个合理的功能！我们接下来会修复这个问题。

  设置判断球体是否击中的函数，如果击中则设置像素点颜色为红色，否则还是背景色