[AtcoderABC200E]Patisserie
题面翻译
对于一个三元组\((i,j,k)\) 我们对它按如下要求进行升序排序：
-
第一关键词 \(i + j + k\) 即三者总和
-
第二关键词 \(i\)
-
第三关键词 \(j\)
特别的 我们给出了\(n\)
对于任何一个三元组\((i,j,k)\ i\in[1,n], j\in[1,n], k\in[1,n]都存在\)
现在给出\(P\) 求出排名为P的三元组的具体元素 即\((i,j,k)\)
\(n \leq 10^6\ \ k \leq 10^3\)
思路
也就是试填法
即枚举每一项元素 通过函数\(calc()\)计算该项排列或是数列的个数
根据排名快速确定每一位元素
现在的问题就是如何实现\(calc()\)
你可以通过打表 或是 硬推 得到一部分思路
根据第一个条件先确定第一位 (因为总和确定后面就好搞了
很容易可以发现
第一个条件就是再求
\[\begin{cases}
i + j + k = x \i \leq n \j \leq n \k \leq n \\end{cases}
\]
的方案数
那么 随便 一算可以推出方案数
\[g(x)=
\begin{cases}
0,\quad x\in(-\infty,3)\cup(3n,\infty) \\frac{(x-1)(x-2)}{2},\quad x\in[3,3n]
\end{cases}
\]
或者说是
\[\left(
\begin{matrix}
x-1 \2 \\end{matrix}
\right)
\]
然后我们考虑一下加上限制
加上其中一项 就把它减去n算一下之前的g(x)
即\(g(x - n)\) 也就是
\[\left(
\begin{matrix}
x-n \2
\end{matrix}
\right)
\]
然后可以随意加其中一个 共有三种方案 系数为-3
任选其中两项、三项（好像用不到）同理
那么真正的方案书\(f(x)\)也就是
\[f(x) = g(x) - 3g(x - n) + 3g(x - 2n) - g(x - 3n)
\]
补充：
这里还有一种DP写法 可能会好理解一些
本文就不再赘述 请读者自行思考或查阅
总结
这道题放在定位为普及模拟赛T2令人着实很吃惊
主要是时间较紧也就成了选手实力的分水岭
要看能不能往组合数的角度（插板法 也许吧）去想了
俺比赛的时候推出第一个式子以为是高阶等差数列 就开始没推出来
还是经验太少了 毕竟OI的数学题还是相对挺少的
Code
说实话真的短 就是思路挺妙的
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <cstring>
using namespace std;
#define int long long
int read(int x = 0, bool f = false, char ch = getchar()) {
for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) f |= (ch == ‘-‘);
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
return f ? ~x + 1 : x;
}
int g(int x) {return x <= 2? 0 : ((x - 1) * (x - 2)) / 2;}
int f(int x, int y) {return g(x) - 3 * g(x - y) + 3 * g(x - 2 * y) - g(x - 3 * y);}
int n, k;
signed main() {
// freopen("cake.in", "r", stdin);
// freopen("cake.out", "w", stdout);
n = read(), k = read();
for (int i = 3; i <= 3 * n; ++i) {
if (k <= f(i,n)) {
for (int j = 1; j <= n; ++j) {
int mn = max(1ll, i - j - n), mx = min(n, i - j - 1ll);
if (mx < mn) continue;
if (k <= mx - mn + 1)
return printf("%lld %lld %lld\n", j, mn + k - 1, i - j - mn - k + 1), 0;
k -= mx - mn + 1;
}
} else k -= f(i,n);
}
}