前言
题目ida查看后发现是浮点数的运算，涉及到精度的问题，本来想的是爆破每一位，但是发现条件由于精度损失的问题不可能相等，且数据越来越大，直到程序inf。后来听说是math有关的知识，看了别人的wp，发现竟是一大堆的数学公式的运算：积分，泰勒公式，辛普森公式。下面就分析一下题目功能和思路。
题目功能
题目逻辑是内置了一个长度为19的数组，输入的数据经过函数sub_13F3运算后，如果相等则输出correct！
__isoc99_scanf("%39s", s);
if ( strlen(s) == 38 )
{
for ( i = 0; i <= 37; i += 2 )
{
if ( dbl_4020[i / 2] != sub_13F3(*(unsigned __int16 *)&s[i]) )
goto LABEL_2;
}
puts("correct");
result = 0LL;
}
sub_13F3函数，功能是从8225到输入数据的大小循环迭代v3，如下：
double __fastcall sub_13F3(int a1)
{
int i; // [rsp+8h] [rbp-Ch]
double v3; // [rsp+Ch] [rbp-8h]
v3 = qword_2010;// 0x3f3fa5e61d8cedfd 0.00048291080524950886
for ( i = 0x2021; i < a1; ++i )
v3 = 2.718281828459045 - (double)i * v3;
return v3;
}
尝试
经过调试，得到了qword_2010的值0.00048291080524950886，然后按照程序的逻辑仿写了代码，对每个字符进行爆破，但是结果发现，得到的数据一正一负且越来越大最后越界inf。发现爆破不太行，陷入了僵局。到底哪里出了问题？后来发现2.718281828459045 是自然数e，根据题目名字ezmath猜测是和math有关，函数里面是关于v3的递推，发现类似于 I n = e − n ∗ I n − 1 I_n = e-n*I_{n-1} In=e−n∗In−1,这就需要数学辨识力了实际上它是积分： ∫ 0 1 x n e x d x ≈ e / n \int_{0}^{1}x^ne^x\text{d}x \approx e/n ∫01xnexdx≈e/n，下面分析一下如何得到
分析数学算法
∫
0
1
x
n
e
x
d
x
≈
e
/
n
\int_{0}^{1}x^ne^x\text{d}x \approx e/n
∫01xnexdx≈e/n，时间上是个积分运算，涉及到凑微分，泰勒展开式、极限的运算。
lim
n
→
∞
n
∫
0
1
x
n
e
x
d
x
①
=
lim
n
→
∞
n
∫
0
1
x
n
∑
i
=
0
∞
x
i
i
!
d
x
②
=
lim
n
→
∞
n
∫
0
1
∑
i
=
0
∞
x
i
+
n
i
!
d
x
=
lim
n
→
∞
n
∑
i
=
0
∞
∫
0
1
x
i
+
n
d
x
i
!
③
=
lim
n
→
∞
n
∑
i
=
0
∞
1
(
i
+
n
+
1
)
i
!
=
lim
n
→
∞
∑
i
=
0
∞
1
(
i
+
1
n
+
1
)
i
!
=
∑
i
=
0
∞
1
i
!
=
e
\lim_{n\rightarrow \infty}n\int_0^1x^ne^xdx\\①=\lim_{n\rightarrow \infty}n\int_0^1x^n\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}dx\\②=\lim_{n\rightarrow \infty}n\int_0^1\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i+n}}{i!}dx=\lim_{n\rightarrow \infty}n\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\int_0^1x^{i+n}dx}{i!}\\ ③ =\lim_{n\rightarrow \infty}n\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(i+n+1)i!}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(\frac{i+1}{n}+1)i!}\\=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}=e
limn→∞n∫01xnexdx①=limn→∞n∫01xn∑i=0∞i!xidx②=limn→∞n∫01∑i=0∞i!xi+ndx=limn→∞n∑i=0∞i!∫01xi+ndx③=limn→∞n∑i=0∞(i+n+1)i!1=limn→∞∑i=0∞(ni+1+1)i!1=∑i=0∞i!1=e
到①式
lim
n
→
∞
∫
0
1
e
x
d
x
=
lim
n
→
∞
∫
0
1
∑
i
=
0
∞
x
i
i
!
d
x
\lim_{n\rightarrow \infty}\int_0^1e^xdx = \lim_{n\rightarrow \infty}\int_0^1\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}dx
limn→∞∫01exdx=limn→∞∫01∑i=0∞i!xidx为
e
x
e^x
ex的泰勒展开
到②式为化简，求和符号提出去
到③式是对
∫
0
1
x
i
+
n
d
x
=
1
i
+
n
+
1
∗
x
i
+
n
+
1
∣
0
1
=
1
i
+
n
+
1
\int_0^1x^{i+n}dx = \frac{1}{i+n+1}*x^{i+n+1}|_0^1 = \frac{1}{i+n+1}
∫01xi+ndx=i+n+11∗xi+n+1∣01=i+n+11的积分
最后得到了
∑
i
=
0
∞
1
i
!
=
e
\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}=e
∑i=0∞i!1=e
至此可以得到
∫
0
1
x
n
e
x
d
x
=
x
n
e
x
∣
0
1
−
∫
0
1
e
x
d
x
n
=
e
−
n
∗
∫
0
1
x
n
−
1
e
x
d
x
≈
e
/
n
\int_{0}^{1}x^ne^x\text{d}x = x^ne^x|^1_0-\int_{0}^{1}e^x\text{d}x^n = e-n*\int_{0}^{1}x^{n-1}e^x\text{d}x\approx e/n
∫01xnexdx=xnex∣01−∫01exdxn=e−n∗∫01xn−1exdx≈e/n
所以要求n，就可以用
e
∫
0
1
x
n
e
x
d
x
\frac{e}{\int_{0}^{1}x^ne^x\text{d}x}
∫01xnexdxe,其中
∫
0
1
x
n
e
x
d
x
\int_{0}^{1}x^ne^x\text{d}x
∫01xnexdx为题目中给的数组数据。这里有精度的问题，所以要适当调整。
exp
import math
import codecs
res = [0.00009794904266317233, 0.00010270456917442, 0.00009194256152777895,
0.0001090322021913372, 0.0001112636336217534, 0.0001007442677411854,
0.0001112636336217534, 0.0001047063607908828, 0.0001112818534005219,
0.0001046861985862495, 0.0001112818534005219, 0.000108992856167966,
0.0001112636336217534, 0.0001090234561758122, 0.0001113183108652088,
0.0001006882924839248, 0.0001112590796092291, 0.0001089841164633298,
0.00008468431512187874]
flag = b''
for i in res:
flag += codecs.decode(hex(int(math.e/i)-1)[2:],'hex')[::-1]
print flag
print len(flag)
总结
题目让我了解了数学知识在程序中的应用，加深了数学从理论到时间的认识，一切源于数学，我个菜鸡该好好补补数学知识了！！
参考
https://blog.csdn.net/weixin_43363675/article/details/118078787
https://blog.csdn.net/SCP000111/article/details/118033127
https://cdcq.github.io/2021/06/15/20210615a/