最长子序列和问题【最大子段和问题】

2022-04-10 12:46:45

来源：http://blog.csdn.net/luxiaoxun/article/details/7438315

问题：
给定一整数序列A1， A2，... An （可能有负数），求A1~An的一个子序列Ai~Aj，使得Ai到Aj的和最大
例如：整数序列-2, 11, -4, 13, -5, 2, -5, -3, 12, -9的最大子序列的和为21。对于这个问题，最简单也是最容易想到的那就是穷举所有子序列的方法。利用三重循环，依次求出所有子序列的和然后取最大的那个。当然算法复杂度会达到O(n^3)。

 1 int maxSubSum1(int a[],int size ) 
 2 {
 3     int maxSum = 0;
 4     for ( int i = 0; i < size; i++ )
 5         for ( int j = 1; j < size; j++ ) 
 6         {
 7              int thisSum = 0;
 8              for ( int k = i; k <= j; k++ )
 9                  thisSum += a[k];
10              if ( thisSum > maxSum )
11                 maxSum = thisSum;
12         }
13     return maxSum;
14 }

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这个算法很简单，i表示子序列起始下标，j表示子序列结束下标，遍历子序列的开头和结束下标，计算子序列的和，然后判断最大子序列。很明显的看出算法复杂度是O( pow( n, 3 ) )

显然这种方法不是最优的，下面给出一个算法复杂度为O(n)的线性算法实现，算法的来源于Programming Pearls一书。在给出线性算法之前，先来看一个对穷举算法进行优化的算法，它的算法复杂度为O(n^2)。其实这个算法只是对对穷举算法稍微做了一些修改：其实子序列的和我们并不需要每次都重新计算一遍。假设Sum(i, j)是A[i] ... A[j]的和，那么Sum(i, j+1) = Sum(i, j) + A[j+1]。利用这一个递推，我们就可以得到下面这个算法：

 1 int max_sub(int a[],int size)
 2 {
 3 　　int i,j,v;
 4     int max=a[0];
 5 　　for(i=0;i<size;i++)
 6 　　{
 7 　　　　v=0;//开始以下一个i开头时要对上一个i开头的累加和清零。
 8 　　　　for(j=i;j<size;j++)
 9 　　　　{
10 　　　　　　v=v+a[j];         //Sum(i, j+1) = Sum(i, j) + A[j+1]
11 　　　　　　if(v>max)  max=v;
12 　　　　}
13 　　}
14 　　return max;
15 }

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那怎样才能达到线性复杂度呢？这里运用动态规划的思想。先看一下源代码实现：

（PS：嗯这个动态规划的代码还真没看懂……）

int max_sub2(int a[], int size)
{
　　int i,max=0,temp_sum=0;
　　for(i=0;i<size;i++)
　　{
　　　　　　temp_sum+=a[i];
　　　　　　if(temp_sum>max)
　　　　　　　　max=temp_sum;
　　　　　　else if(temp_sum<0)
　　　　　　　　temp_sum=0;
　　}
　　return max;
}

在这一遍扫描数组当中，从左到右记录当前子序列的和temp_sum，若这个和不断增加，那么最大子序列的和max也不断增加(不断更新max)。如果往前扫描中遇到负数，那么当前子序列的和将会减小。此时temp_sum 将会小于max，当然max也就不更新。如果temp_sum降到0时，说明前面已经扫描的那一段就可以抛弃了，这时将temp_sum置为0。然后，temp_sum将从后面开始将这个子段进行分析，若有比当前max大的子段，继续更新max。这样一趟扫描结果也就出来了。

分治法：最大子序列和可能出现在三个地方：整个出现在输入数据的左半部分，整个出现在输入数据的右半部分，或者跨越输入数据的中部从而占据左右两个半部分。

（PS：原文的这段分治法的代码看懂了个大概，后面附上另外两段分治法的代码吧。

另外，不管怎写，分治法解决这个题目，时间复杂度都是O（nlogn）级别的。）

/**
 * Recursive maximum contiguous subsequence sum algorithm.
 * Finds maximum sum in subarray spanning a[left..right].
 * Does not attempt to maintain actual best sequence.
 */
int maxSumRec( const vector<int> & a, int left, int right )
{
    if( left == right )  // Base case
        if( a[ left ] > 0 )
            return a[ left ];
        else
            return 0;
    int center = ( left + right ) / 2;
    int maxLeftSum  = maxSumRec( a, left, center );
    int maxRightSum = maxSumRec( a, center + 1, right );
    int maxLeftBorderSum = 0, leftBorderSum = 0;
    for( int i = center; i >= left; i-- )
    {
        leftBorderSum += a[ i ];
        if( leftBorderSum > maxLeftBorderSum )
            maxLeftBorderSum = leftBorderSum;
    }
    int maxRightBorderSum = 0, rightBorderSum = 0;
    for( int j = center + 1; j <= right; j++ )
    {
        rightBorderSum += a[ j ];
        if( rightBorderSum > maxRightBorderSum )
            maxRightBorderSum = rightBorderSum;
    }
    return max3( maxLeftSum, maxRightSum, maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum );
}

/**
 * Driver for divide-and-conquer maximum contiguous
 * subsequence sum algorithm.
 */
int maxSubSum3( const vector<int> & a )
{
    return maxSumRec( a, 0, a.size( ) - 1 );
}

下面的代码来自http://www.2cto.com/kf/201311/255297.html

 1 #include <stdio.h>  
 2 int Max2(int a, int b)  
 3 {  
 4     return a>b ? a:b;  
 5 }  
 6 int Max3(int a, int b, int c)  
 7 {  
 8     int max = a;  
 9     if(max < b)   max = b;  
10     if(max < c)   max = c;  
11     return max;  
12 }  
13 int MaxSubSum(int* a, int fI, int lI)  
14 {  
15     int i = 0;  
16     int mI = (fI+lI) >> 1;  
17     int lMax = 0, rMax = 0, lMaxBorder = 0, rMaxBorder = 0, lSumBorder = 0, rSumBorder = 0, max = 0;  
18     //so how about   
19     if(fI == lI)  
20         return *(a+fI);  
21    
22     lMax = MaxSubSum(a, fI, mI);  
23     rMax = MaxSubSum(a, mI+1, lI);  
24     for(i=mI;i>=fI;i--)  
25     {  
26         lSumBorder += *(a+i);  
27         if(lMaxBorder < lSumBorder)  
28             lMaxBorder = lSumBorder;  
29     }  
30     for(i=mI+1;i<=lI;i++)  
31     {  
32         rSumBorder += *(a+i);  
33         if(rMaxBorder < rSumBorder)  
34             rMaxBorder = rSumBorder;  
35     }  
36     max = Max3(lMax, rMax, lMaxBorder+rMaxBorder);  
37     return max;  
38 }  
39    
40 int main()  
41 {  
42     int a[9] = {4,-3,5,-2,-1,2,6,-2,3};  
43     int L = sizeof(a) / sizeof(int);  
44     int max = MaxSubSum(a, 0, L-1);  
45     printf("%d \n", max);  
46     return 0;  
47        
48 }

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下面是参考刘汝佳的《书法竞赛入门经典》page141 的代码：

 1 int maxSum(int *A,int x,int y)//返回数组A在左闭右开区间[x,y)中的最大连续和
 2 {
 3     int i,m,v,Lmax,Rmax,L,R;
 4     int ans;
 5     if(y-x==1) return A[x];   //假如只有一个元素，直接返回 
 6     m=x+(y-x)/2;              //分治第一步：划分成[x,m)和[m,y) 
 7     Lmax=maxSum(A,x,m);       //分治第二步：递归求解 
 8     Rmax=maxSum(A,m,y);
 9     
10     v=0;     //分治第三步：合并（1）——寻找从分界点向左的最大连续和L 
11     L=A[m-1];
12     for(i=m-1;i>=x;i--)
13     {
14         v+=A[i];
15         if(v>L) L=v;
16     }
17     
18     v=0;    //分治第三步：合并（2）——寻找从分界点向右的最大连续和R
19     R=A[m];
20     for(i=m;i<y;i++)
21     {
22         v=v+A[i];
23         if(v>R) R=V;
24     }
25     //把子问题的解与L+R 比较从而得到原问题的解。 
26     ans=(Lmax>Rmax ? Lmax : Rmax);
27     return ans>(L+R)? ans:(L=R);
28 }

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刘大师的代码就是简洁又给力呵呵

码农公寓

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