自动微分原理与示例

2023-11-25 16:26:16

自动微分原理与示例
机器学习的同学在学习过程中会经常遇到一个问题，那就是对目标函数进行求微分，线性回归这类简单的就不说、复杂的如神经网络类那些求导过程。
本文介绍了五种微分方式，最后两种才是自动微分。
前两种方法求出了原函数对应的导函数，后三种方法只是求出了某一点的导数。
假设原函数是f(x,y)=x2y+y+2，需要求其偏导数和，以便应用于梯度下降等算法。

1、手工求导
首先准备一张纸和一支笔，根据上学时候学到的求导法则，开始计算。最终得到的结果。

缺点是对于复杂函数容易出错。这一计算过程可由计算机帮完成，这就是符号微分。

这个小例子比较简单，口算即可得到答案，但如果方程比较复杂那就难说了。幸好有自动求导的方法，例如符号求导方法。
2、符号微分（Symbolic Differentiation）
如图1所示，使用符号微分的方法，计算函数g(x,y)=5+xy的偏导数。图左侧代表函数g(x,y)，右侧代表g(x,y)关于x的偏导数

（同样的，可以求得）。

图1. 符号微分

算法首先求叶子节点关于x的偏导数，然后沿着树向上，求得其他节点关于自变量的偏导数。这与手工求导所使用的规则是一样的。
如果函数复杂，算法生成的树将十分庞大，性能不高。而且无法对很随意的代码求导，例如：
def my_func(a, b):
z = 0
for i in range(100):
z = a * np.cos(z + i) + z * np.sin(b - i)
return z

3、数值微分（Numerical Differentiation）
这是根据导数的定义来求解的。函数h(x)h(x)在x0x0点的导数为：

取一个很小的ε，带入公式进行计算即可。方法所得结果不够精确，参数过多时计算量也比较大。但是计算起来很简单，可用于校验手工算出的导数是否正确。

如果有1000个参数，至少需要调用h(x)1001词，来求得所有偏导数。
导数的定义是当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
其中εε是一个无穷小的数，所以我们可以计算在x=3,y=4这一点对x的偏导数，，对应的代码如下：

def f(x, y):
return x**2*y + y + 2
def derivative(f, x, y, x_eps, y_eps):
return (f(x + x_eps, y + y_eps) - f(x, y)) / (x_eps + y_eps)
df_dx = derivative(f, 3, 4, 0.00001, 0)
df_dy = derivative(f, 3, 4, 0, 0.00001)
>>print(df_dx)
24.000039999805264
>>print(df_dy)
4、前向自动微分（Forward-Mode Autodiff）
算法依赖一个虚数（dual numbers，这让我想起来oracle的虚表。难度dual可以表示虚无的意思？） ε，满足，但ε≠0（姑且理解为一阶无穷小吧）。