Problem A

给两个数列 \(a_i,b_i\) ，你要找到一个排列 \(p\) ，使得每个 \(a_i \oplus b_{p_i} =x\) 都相等，其中 \(\oplus\) 表示异或，你要输出所有可能的 \(x\) 。

\(1\leq n\leq 2000,0\leq a_i,b_i \leq 10^9\)

先考虑如何判断一个 \(x\) 是否合法，通过移项：\(a_i\oplus x= b_{p_i}\) ，所以我们只需将 \(a_i\) 的每一项异或 \(x\) 后，判断序列 \(a\) 和 \(b\) 是否本质相同即可，时间复杂度 \(O(n\log (n))\) 。

又观察到 \(x\) 一定是 \(a_1 \oplus b_1,a_1\oplus b_2...a_1\oplus b_n\) 中的一个数（因为 \(a_1\) 一定会与一个数配对），所以只用判断这 \(n\) 个值即可时间复杂度 \(O(n^2\log(n))\) 。

Problem B

有 \(n\) 个球，每个球有 RGY 三种颜色，现在小 F 觉得如果有两个相邻的球颜色相同很丑，他每次可以交换相邻两个球，问至少交换多少次才能不丑。

\(1\leq n\leq 400\)

首先，如果知道最终序列，可以通过逆序对，快速得到交换次数。

观察得知，对于交换完的最终序列，同种颜色之间的相对顺序一定不变。所以设 \(dp(i,j,k,0/1/2)\) 表示在最终序列的前 \(i+j+k\) 项中， R 填了 \(i\) 个，G 填了 \(j\) 个，Y 填了 \(k\) 个，且第 \(i+j+k\) 个是 R/G/Y 时的交换次数。转移时只用枚举下一个位置填什么字符，因为前面的性质，可以轻松得知填的字符在原串中的位置，并计算这个字符对逆序对的贡献。

时间复杂度 \(O(n^3)\) 。

problem C

有 \(n\) 个人站成一个圈，每个人有 \(a_i\) 个球，下面要进行一次操作：
每个人把一些它的球交给它右边的人，所有人同时进行。
完了过后每个人有 \(b_i\) 个球，记这个序列为 \(B\) 。
于每种 \(B\) ，它的价值为 \(\prod bi\)。
对于所有可能的 \(B\) ，你要计算它们的价值和，对 \(10^9 + 7\) 取模。

\(n\leq10^6,0 \leq a_i \leq 10^9\) 。

设 \(c_i\) 为第 \(i\) 个人给它右边的人的球的个数，则 \(b_i=a_i+c_{i-1}-c_i\) ，不难发现如果 \(\max c_i \geq 1\) ，那么对所有 \(c_i\) 减 \(1\) 后得到的 \(b_i\) 不变，所以 \(c_i\) 中一定有 \(0\) 。所以我们枚举 \(c\) 中下标最大的 \(0\) 的出现位置 \(x\) ，并计算这样的所有方案的价值和。 因为 \(c_x=0\) ，所以我们在 \(x\) 和 \(x+1\) 之间断环成链，于是设 \(dp(i,j)\) 代表考虑链上的前 \(i\) 个人，第 \(i\) 个人给 \(i+1\) 个人 \(j\) 个球的价值和。转移为：

\[dp(i+1,j)=\sum_{k=0/1}^{a_k}{dp(i,k)\times (a_{i+1}+k-j)} \]

注意到因为 \(x\) 是小标最大的 \(0\) ，所以当前这个人的实际下标如果大于 \(x\) ，\(k\) 的下界就是 \(1\) 。但这样的复杂度不足以通过此题。

又观察到转移过程中只用维护 \(\sum_{k=0/1}^{a_k}{dp(i,k)\times k}\) 和 \(\sum_{k=0/1}^{a_k}{dp(i,k)}\) 即可，时间复杂度变成了 \(O(n^2)\) 。

注意到每次的转移系数都只和 \(a_i\) 有关，所以可以把每个位置的转移都写成一个矩阵，并处理前后缀积，复杂度 \(O(n)\) 。