洛谷题面

神仙题

题目大意

一次操作选择 \(1 \lt i\lt n\)，使 \(c_i\) 变为 \(c_i'\)，\(c_i'=c_{i+1}+c_{i-1}-c_i\)。

是否能做若干次操作，使每个 \(c_i\) 和 \(t_i\) 相等？

题目分析

NOIP 2021 方差和这道题差不多。

差分，是前缀和的逆运算。形式化来说，长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 的差分序列 \(c\) 满足：

\(i=1\) 时，\(c_i=a_i\)；

\(2\le i\le n\) 时，\(c_i=a_i-a_{i-1}\)。

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首先发现，如果 \(c_1\neq t_1\) 或 \(c_n\neq t_n\)，显然不可能，直接输出 \(\verb!No!\) 即可。

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考虑原序列中的一段 \(c_{i-1},c_i,c_{i+1}\)，差分后，差分序列为：\(c_{i-1}-c_{i-2},c_{i}-c_{i-1},c_{i+1}-c_i\)。

进行一次操作后：\(c_{i-1},c_{i-1}+c_{i+1}-c_i,c_{i+1}\)，差分一下，发现此时为：\(c_{i-1}-c_{i-2},c_{i+1}-c_i,c_i-c_{i-1}\)。

发现差分序列中的数没有变，但是位置发生了变化。

同理可得，序列 \(c\) 无论经过多少次操作，差分序列内的数都没有变，改变的惟有顺序。

所以我们求出序列 \(c,t\) 的差分序列 \(ca,ct\) 后，排序比较是否一致即可。

时间复杂度 \(\operatorname{O}(n\log n)\)。

代码

//2021/11/29

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <climits>//need "INT_MAX","INT_MIN"

#include <algorithm>

#define enter() putchar(10)

#define debug(c,que) cerr<<#c<<" = "<<c<<que

#define cek(c) puts(c)

#define blow(arr,st,ed,w) for(register int i=(st);i<=(ed);i++)cout<<arr[i]<<w;

#define speed_up() std::ios::sync_with_stdio(false)

#define endl "\n"

#define Input_Int(n,a) for(register int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);

#define Input_Long(n,a) for(register long long i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",a+i);

namespace Newstd
{
	inline int read()
	{
		int x=0,k=1;
		char ch=getchar();
		while(ch<'0' || ch>'9')
		{
			if(ch=='-')
			{
				k=-1;
			}
			ch=getchar();
		}
		while(ch>='0' && ch<='9')
		{
			x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
			ch=getchar();
		}
		return x*k;
	}
	inline void write(int x)
	{
		if(x<0)
		{
			putchar('-');
			x=-x;
		}
		if(x>9)
		{
			write(x/10);
		}
		putchar(x%10+'0');
	}
}

using namespace Newstd;

using namespace std;

const int MA=100005;

int a[MA],b[MA];

int sua[MA],sub[MA];

int n;

int main(void)
{
	n=read();
	
	Input_Int(n,a);
	
	Input_Int(n,b);
	
	if(a[1]!=b[1] || a[n]!=b[n])
	{
		puts("No");
		
		return 0;
	}
	
	sua[1]=a[1],sub[1]=b[1];
	
	for(register int i=2;i<=n;i++)
	{
		sua[i]=a[i]-a[i-1];
		
		sub[i]=b[i]-b[i-1];
	}
	
	sort(sua+1,sua+n+1);
	
	sort(sub+1,sub+n+1);
	
	for(register int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(sua[i]!=sub[i])
		{
			puts("No");
			
			return 0;
		}
	}
	
	puts("Yes");
	
	return 0;
}