1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

 

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

 

执行动画过程如下图

 

3.算法实例

先给出一个无向图

用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

模板代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <cassert>
#include <time.h>
#include <queue>
//#include <map>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <string>
#include <sstream>
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

template <class Type>
Type stringToNum(const string& str)
{
	istringstream iss(str);
	Type num;
	iss >> num;
	return num;    
}

//======================================================

#define MAXN 102
int map[MAXN][MAXN];
bool visited[MAXN];

void update(int minPos,int n) {

	for (int i = 1; i <= n; ++i) {

		if( !visited[i] && map[1][i] > map[1][minPos] + map[minPos][i] )
			map[i][1] = map[1][i] = map[1][minPos] + map[minPos][i];
	}
}

void dijkstra(int n) {

	visited[1] = 1;
	while(1) {

		int tmpMin = INF;
		int minPos = -1;
		for (int i = 2; i <= n; ++i) {

			if( !visited[i] && tmpMin > map[1][i] ) {
				//have not been visited && smaller

				tmpMin = map[1][i];
				minPos = i;
			}
		}

		if( -1 == minPos )
			break;

		visited[minPos] = 1;
		update(minPos,n); //update the map, if it's shorter to get through minPos
	}
}

int main()
{
	//freopen("input.txt","r",stdin);

	int n=4;
	map[1][2]=map[2][1]=10;  
	map[1][3]=map[3][1]=4;  
	map[2][3]=map[3][2]=5;  
	map[2][4]=map[4][2]=2;  
	map[4][3]=map[3][4]=1;

	dijkstra(n);

	for (int i = 2; i <= n ; ++i) {
		cout<<map[1][i]<<endl;
	}

	return 0;
}