Description

给出 \(n\) 个数，选出其中 \(k\) 个，使得其或和是 \(r\)，求方案数。

Solution

首先容易发现，选出来的数一定是 \(r\) 的子集，那么不是 \(r\) 子集的数直接忽略。保证了剩下的数是 \(r\) 的子集之后，选 \(k\) 个数或起来虽然不一定是 \(r\)，但是却满足或起来是 \(r\) 的子集。也就是说我们容易求出 \(f_S\) 表示选 \(k\) 个数或起来是 \(S\) 的方案数 \(\binom{cnt_{S}}{k}\)，那么恰好是 \(S\) 的方案数通过子集容斥也就能求了，为

\[\sum_{C\subseteq S} (-1)^{|S|-|C|} \binom{cnt_{C}}{k} \]

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma GCC optimize("inline")

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

inline int read(){
    int x=0,flag=1; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')flag=0;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=getchar();}
    return flag? x:-x;
}

const int N=1<<20;
const int Mod=1e9+7;

typedef long long ll;

int c[N];
ll fac[N],ifac[N];

ll qpow(ll x,int y=Mod-2){
    ll ret=1;
    while(y){
        if(y&1) ret=ret*x%Mod;
        x=x*x%Mod,y>>=1;
    }
    return ret;
}

inline int C(int x,int y){return x<y? 0:fac[x]*ifac[y]%Mod*ifac[x-y]%Mod;}
inline int lowbit(int x){return -x&x;}
inline int popcount(int x,int ret=0){while(x)x-=lowbit(x),ret++;return ret;}

int main(){
    freopen("kor.in","r",stdin);
    freopen("kor.out","w",stdout);
    int T=read(); fac[0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%Mod;
    ifac[N-1]=qpow(fac[N-1]);
    for(int i=N-2;~i;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%Mod;
    while(T--){
        int n=read(),k=read(),r=read();
        for(int i=0;i<N;i++) c[i]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) c[read()]++;
        for(int j=0;j<20;j++)
            for(int i=0;i<N;i++)
                if(i&(1<<j)) c[i]+=c[i^(1<<j)];
        for(int i=0;i<N;i++) c[i]=C(c[i],k);
        int lim=popcount(r); ll ans=0;
        if(!lim) ans=c[0];
        else{
            for(int S=r;S;S=r&(S-1))
                ans=(ans+(((lim-popcount(S))&1)? -1:1)*c[S]+Mod)%Mod;
            ans=(ans+((lim&1)? -1:1)*c[0]+Mod)%Mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}