别着急,干货在最后面!!!(本文用c++实现)
很多人都学过贪心,但是贪心在一些情况并不适用,比如:
已知我们从黄色出发,找最小值。
贪心策略当然是一直往函数大小减小的地方偏移——但是,万一不是单峰呢?我们会陷入如图的蓝色中无法自拔。
肯能你会想到:随机找一个点出发,然后贪心找最小值?多随机几遍,然后求全局最小值?
你会发现复杂度暴增!!!!!!!!——所以如何处理这种问题呢?
模拟退火:啊,对对对~
是的!模拟退火就是一种类似于随机化贪心的一个算法,在OI界也小有名气(冥器)!(如题[NOIP2021] 方差 )
原理图:
如图:在物理应用中分子排布可能是紊乱的,如果我们将它升温然后缓慢降温,就可以生成完美的晶形!
所以我们立刻(啊,对对对~)能设定模拟退火的参数:
1.初始温度 T (1000-7000)
2.末尾温度 P(1e-5~1e-15)
3.降温系数 K (0.91~0.9975)
4.状态空间(被降温物体) S
5.当前能量 E ( new )
6.全局能量 E ( old )
一:Metropolis准则 - 以概率接受新状态:
这就是物理(化学)方面类似的推论——一定概率的更新。
什么意思呢?
我们已知:当前能量 E ( new ) , 全局能量 E ( old ),那么我们的目标是什么,不就是减少目前的能量吗?
所以:当当前能量少于全局能量(即更新前的能量),那么我们有概率为 1 的更新概率;
当当前能量大于全局能量(即更新前的能量),那么我们有概率为 exp( - (E( new )-E( old ))/T) 的更新概率 ( T为当前温度) ;
注意:有时候也不一定以以上方式更新,这只是比较妥的做法,概率方面是可以自己定的,但是一定以当前能量与全局能量的关系来设定的。(除非直接暴力的随机算法)
二:
那么怎么生成新的当前温度呢?,以生成小数为例:
当前将更新温度=全局温度+(rand()*2-RAND_MAX)*t; if(不在状态空间内){ 当前将更新温度=fmod(当前将更新温度,状态空间大小) }
即:在当前状态的邻域结构内以一定概率方式(均匀分布、正态分布、指数分布等)产生。
三:温度更新函数
若固定每一温度,算法均计算至平稳分布,然后下降温度,则称为时齐算法;
若无需各温度下算法均达到平稳分布,但温度需按一定速率下降,则称为非时齐算法。
本人用的:
T*=K;
四:内循环终止准则
本人使用的:
(t>1e-15)//可以改大一点
其他常用方法:
(1)设置终止温度的阈值。
(2)设置外循环迭代次数。
(3)算法搜索到的最优值连续若干步保持不变。
(4)概率分析方法。
五:实现流程图:
注意:以下是我自己总结的退火口诀:
初始温度小心设(1000-3000),又粗又大wa一脸
多次sa更保险,忘了卡时直接T[if((double)clock()/CLOCKS_PER_SEC>=0.993)]
退火系数大胆设,不过0.9975会很厄
全局、状态不一样,全局必须菊部优
百年骗分一场空,不开srand见祖宗
退火需谨慎,退火不规范,灵封两行泪
然后是[NOIP2021]方差的实现(玄学万岁):
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define LL long long const int N=1e5+10; const double dw=0.9975; int a[N],n,c[N]; long long ans; bool cmp(int a,int b){ return a>b; } LL en(){ LL em=0; LL ranss=0; for(int i=2;i<=n;i++){ a[i]=a[i-1]+c[i]; } for(int i=1;i<=n;i++){ em+=(long long)a[i]*a[i]; }em=(long long)em*n; for(int i=1;i<=n;i++){ ranss=(long long)ranss+a[i]; }ranss=(long long)ranss*ranss; return (long long)(em-ranss); } void sa(){ double t=1000; while(t>1e-15){ if((double)clock()/CLOCKS_PER_SEC>=0.993){ cout<<ans; exit(0); } int x=rand()%(n-1)+2,y=rand()%(n-1)+2; while(x==y)x=rand()%(n-1)+2; swap(c[x],c[y]); LL m=en(),dt=ans-m; if(dt>0){ ans=m; }else if((double)rand()>=(double)RAND_MAX*(double)exp((double)dt/t)){ swap(c[x],c[y]); } t*=dw; } } int main(){ srand((unsigned)time(0)); cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&a[i]); c[i]=a[i]-a[i-1]; } sort(c+2,c+n/2+1,cmp); sort(c+n/2+1,c+n+1); ans=en(); while(1)sa(); }