Description

响应主旋律的号召，大家决定让这个班级充满爱，现在班级里面有 $n$ 个男生。

如果 $a$ 爱着 $b$，那么就相当于 $a$ 和 $b$ 之间有一条 $a \rightarrow b$ 的有向边。如果这 $n$ 个点的图是强联通的，那么就认为这个班级是充满爱的。

不幸的是，有一些不好的事情发生了，现在每一条边都可能被摧毁。我作为爱的使者，想知道有多少种摧毁的方式，使得这个班级任然充满爱呢？（说人话就是有多少边的子集删去之后整个图仍然强联通。）

Solution

设$dp_i$为点集$i$有多少边的子集保留时整个图强联通，即为答案

整张图缩点之后形成一张DAG，所以考虑有向图DAG计数：

$$f_S=\sum_{T \subset S ,T \ne \emptyset} (-1)^{|T|-1} f_{S-T} 2^{edge(T,S-T)}$$

发现容斥系数值只与点的个数的奇偶性有关

那么设$D_i$为点集$i$被分为奇数个强联通分量的方案数，$C_i$为点集$i$被分为偶数个强联通分量的方案数，$dag_i$为点集$i$形成DAG的方案数，最终用全集减去它就是$dp$

有

$$dag_S = \sum_{T \subset S}(D_T-C_T) 2^{edge(T,S-T)+edge{S-T,S-T}}$$

$$D_S=\sum_{T \subset S}dp_T C_{S-T}$$

$$C_S=\sum_{T \subset S}dp_T D_{S-T}$$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<bitset>
using namespace std;
int n,m,p[305]={1};
long long D[40005],S[40005]={1},dp[40005];
const long long mod=1e9+7;
bitset<230>out[40005],in[40005];
inline int read(){
    int w=0,f=1;
    char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')w=(w<<1)+(w<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return w*f;
}
int main(){
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n*n;i++)p[i]=p[i-1]*2%mod;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=read(),v=read();
        for(int j=1;j<(1<<n);j++){
            if((j>>(u-1))&1)out[j][i]=1;
            if((j>>(v-1))&1)in[j][i]=1;
        }
    }
    for(int i=1;i<(1<<n);i++){
        dp[i]=p[(in[i]&out[i]).count()];
        for(int s=(i-1)&i;s;s=(s-1)&i){
            ((dp[i]-=((D[s]-S[s])*p[(out[s]&in[i-s]).count()+(out[i-s]&in[i-s]).count()]%mod+mod)%mod)+=mod)%=mod;
            if(s&(i&-i))(D[i]+=dp[s]*S[i-s]%mod)%=mod,(S[i]+=dp[s]*D[i-s]%mod)%=mod;
        }
        (((dp[i]-=(D[i]-S[i])%mod+mod)%=mod)+=mod)%=mod,(D[i]+=dp[i])%=mod;
    }
    printf("%lld\n",dp[(1<<n)-1]);
    return 0;
}

【清华集训2014】主旋律