GCD
Time Limit : 2000/1000ms (Java/Other) Memory Limit : 32768/32768K (Java/Other)
Total Submission(s) : 3 Accepted Submission(s) : 2
Problem Description
The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes written (a,b),is the largest divisor common to a and b,For example,(1,2)=1,(12,18)=6.
(a,b) can be easily found by the Euclidean algorithm. Now Carp is considering a little more difficult problem:
Given integers N and M, how many integer X satisfies 1<=X<=N and (X,N)>=M.
(a,b) can be easily found by the Euclidean algorithm. Now Carp is considering a little more difficult problem:
Given integers N and M, how many integer X satisfies 1<=X<=N and (X,N)>=M.
Input
The first line of input is an integer T(T<=100) representing the number of test cases. The following T lines each contains two numbers N and M (2<=N<=1000000000, 1<=M<=N), representing a test case.
Output
For each test case,output the answer on a single line.
Sample Input
3
1 1
10 2
10000 72
Sample Output
1
6
260
Source
ECJTU 2009 Spring Contest
题目大意:
第一行输入T,表示有T组数据。然后每一行输入N和M,分别表示所要求数的范围为1~N,比较值为M。
题目意思很简单,就是求解,在数的范围内X∈[1~N],存在多少个X使得GCD(X,N)>=M,统计X符合要求的个数。
用膝盖骨想想也知道,如果直接暴力遍历N次,每次操作的复杂度高达10^9,肯定会超时的。常规的方法肯定不行。
①首先,补充一下关于GCD()的一些基础知识。
1,如果GCD(a,b)=c,则可以知道GCD(a/c,b/c)=1;( GCD(a,b)=c <=> GCD(a/c,b/c)=1 )
2,设GCD(a,b)=c,如果想要GCD(a,b*d)=c,用①_1可知,
只需满足GCD(a/c,(b/c)*d)=1即可(这个限制既为,满足最大公约数的要求).
②然后,我们所要求的是GCD(X,N)>=M,也就是说我们要求一个GCD(X,N)=Z,的数,
1,如果M==1,则可以知道在[1,N]中任意数X的GCD(X,N)>=1,所以符合要求的个数为N。
2,如果M>1,则表示我们需要找一个GCD(X,N)>1的数。这样我们就知道X肯定会是N的除了1以外的约数、
因为,X只有是N除了1以外的约数,才可能会有GCD(X,N)>1存在。而且,GCD(N,X)=X;(约数嘛,你懂得~)
③再者,我们需要统计的数符合要求的X的个数呢?
1,正如②_2可以知道GCD(N,X)=X,能够使得GCD()=X的数不一定只有X本身,说的正确点的应该是GCD(N,X*q)=X,
只需要计算1~N中有多少个(X*q)即可。但是,q是有受限制的,需要满足上述①_2的要求。
(比如:GCD(15,5)=5,GCD(15,5*3)=15;)
2,由①_2可知,要使得GCD(N,X*q)=X,需要满足GCD(N/X,q)=1.也就是统计1~N/X中有多少个数与N/X互质。
是不是觉得有点熟悉了的?=>求1~N中,有多少个与N互质的数,不就是欧拉函数嘛,SUM+=Eular(N/X);
④最后,如何不重复的统计其公约数为符合条件X的数呢?
其实,你每次用欧拉函数统计出来的那些数,都是唯一的,如上面③_2所说的,q是有受限制的,因为这个限制,使得所求出的个数都为不重复的、所以,只需要统计N的符合要求的约数Xi,SUM+=Eular(N/Xi),既为答案、
#include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> using namespace std; int Eular(int N) { ,i; ;i*i<=N;i++) { ) { N/=i;sign*=i-; ) {N/=i;sign*=i;} } } ) sign*=N-; return sign; } int main() { int A,B,T,i,sign; scanf("%d",&T); while(T--) { scanf("%d%d",&A,&B); ,sign=;i*i<=A;i++)/*分解约数*/ ) /*分解约数,同时判断两边*/ { /*如果为平方数则主需要判断一次*/ if(i>=B) sign+=Eular(A/i); if((A/i)!=i&&(A/i)>=B)/*判断是否为平方数*/ sign+=Eular(i); } printf("%d\n",sign);/*输出答案*/ } ; }