介绍

网络流是有向图，边权是边的容量，形象的理解就是水管单位时间的流水量
源点\((S)\)：水源，可以提供无穷多的水
汇点\((T)\)：水的汇集点

对于每条边：它的流量小于它的容量，且流量不能为负

同时，除了汇点与源点的其他节点，流入总量=流出总量

汇点流入总量=最大流

最大流

顾名思义，最大流就是流入汇点总量最大。

不断地找增广路，即找到一条路，路上每条边的流量都小于容量。找到一条路后，修改每条路上的流量，这条路的流量=路上的边\(min(容量-流量)\)

上图中第一次找路，找到\(1->2->3->4\)，找到后，修改每条边上的容量，就再也找不到路了。

但如果边的流量可以回退，下次找到\(1->3->2->4\)才能算出真正的最大流。

所以网络流的存图：每条边都可以后悔，即每条边存正反两条边。

一开始：正边容量=原来容量，反边容量=0

修改流量：正边容量-=路容量，反边容量+=路容量

在写程序时，为了快速知道一条边的反边，我们让正反边边号满足：反边=正边 XOR 1

找增广路的算法：isap

isap有个\(dis\)数组，增广时沿着\(dis\)数组连续减一的路线走，isap不依靠\(bfs\)来修改\(dis\)数组，在\(dfs\)增广时，如果找不到增广路了，就修改\(dis\)数组：\(dis[x]++\)

虽然\(isap\)不用\(bfs\)，但为了减少常数，最好事先\(bfs\)一次，预处理出初始的\(dis\)数组

非常重要的优化：GAP优化

在增广的时候，随时可能\(dis[x]++\)，可能某个时候，全图中已经没有\(dis[y]=dis[x]\)的节点\(y\)了，此时，\(dis<x\)或\(dis>x\)，该图断层了，说明增广路已经找完，可以返回了，因此记录\(dis\)数组出现次数，如果为\(0\)，则标记\(dis[S]=n\)表示算法结束。

\(code：\)

int S,T,Last[MAX_V],Next[MAX_E<<1],End[MAX_E<<1],len[MAX_E<<1],tot=1;
inline void addedge(int x,int y,int z){//建网络流正反边
	End[++tot]=y,Next[tot]=Last[x],Last[x]=tot,len[tot]=z;
	End[++tot]=x,Next[tot]=Last[y],Last[y]=tot,len[tot]=0;
}
int dis[MAX_V],gap[MAX_V];
queue<int> q;
void bfs(){
    for(int i=1;i<=T;i++) dis[i]=T;//初始化dis数组
    dis[T]=0;
    queue<int> q;
    q.push(T);//倒着进行bfs
    while(q.size()){
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(int i=Last[x];i;i=Next[i]){
            int y=End[i];
            if(dis[y]>dis[x]+1){//更新
                dis[y]=dis[x]+1;
                q.push(y);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=T;i++) gap[dis[i]]++;//记录dis数组次数
    return;
}
int isap(int x,int flow){
    if(x==T) return flow;//到了源点
    int flow_now=0;
    for(int i=_last[x];i;i=Next[i]){
        int y=End[i];
        if(len[i] && dis[x]==dis[y]+1){
            int f=isap(y,min(len[i],flow-flow_now));
            flow_now+=f;
            len[i]-=f;//正边-=f
            len[i^1]+=f;//反边+=f
            if(flow==flow_now || dis[S]==T) return flow_now;
        }
    }
    gap[dis[x]]--;
    if(!gap[dis[x]]) dis[S]=T;//断层
    dis[x]++;
    gap[dis[x]]++;
    return flow_now;
}

最小割

割集：选一些边，如果删掉这些边，源点和汇点就无法互相到达了，则这些边所组成的集合就是割集

最小割：容量总和最小的割集

在网络流上，最小割=最大流

其实，最小割可以看成是一刀将图的元素分割成了两个集合，一些属于源点，一些属于汇点，所以通常最小割的题目需要将题目信息给分开成两个不同集合。

注意：最小割的题，一定要将题目信息转化成“xxx的总和的最小值”，才能最小割建图。