HDU 6134 Battlestation Operational(莫比乌斯反演)

HDU 6134 Battlestation Operational(莫比乌斯反演)

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6134
题目大意:给定正整数 n n n ,求 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 i ⌈ i j ⌉ [ gcd ⁡ ( i , j ) = 1 ] ( 1 ≤ n ≤ 1 e 6 ) \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^i\lceil\frac{i}{j}\rceil[\gcd(i,j)=1](1\leq n\leq 1e6) i=1∑n​j=1∑i​⌈ji​⌉[gcd(i,j)=1](1≤n≤1e6) ,其中 ⌈ x ⌉ \lceil x\rceil ⌈x⌉ 为上取整符号。
题解:先转化一下式子:

⇒ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 i ⌈ i j ⌉ ε ( gcd ⁡ ( i , j ) ) \Rightarrow\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^i\lceil\frac{i}{j}\rceil\varepsilon(\gcd(i,j)) ⇒i=1∑n​j=1∑i​⌈ji​⌉ε(gcd(i,j))

= ∑ i = 1 n ∑ j = 1 i ⌈ i j ⌉ ∑ t ∣ i , t ∣ j μ ( t ) =\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^i\lceil\frac{i}{j}\rceil\sum\limits_{t\mid i,t\mid j}\mu(t) =i=1∑n​j=1∑i​⌈ji​⌉t∣i,t∣j∑​μ(t)

= ∑ t = 1 n μ ( t ) ∑ i = 1 ⌊ n t ⌋ ∑ j = 1 i ⌈ i j ⌉ =\sum\limits_{t=1}^{n}\mu(t)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{t}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^i\lceil\frac{i}{j}\rceil =t=1∑n​μ(t)i=1∑⌊tn​⌋​j=1∑i​⌈ji​⌉

考虑上取整的意义,当 j ∣ i j\mid i j∣i 时, ⌈ i j ⌉ = ⌊ i j ⌋ \lceil\frac{i}{j}\rceil=\lfloor\frac{i}{j}\rfloor ⌈ji​⌉=⌊ji​⌋ ,反之当 j ∤ i j\nmid i j∤i 时,有 ⌈ i j ⌉ = ⌊ i j ⌋ + 1 \lceil\frac{i}{j}\rceil=\lfloor\frac{i}{j}\rfloor+1 ⌈ji​⌉=⌊ji​⌋+1 。那么式子可以继续转化一下:

⇒ ∑ t = 1 n μ ( t ) ∑ i = 1 ⌊ n t ⌋ ∑ j = 1 i ( ⌊ i j ⌋ + [ j ∤ i ] ) \Rightarrow\sum\limits_{t=1}^{n}\mu(t)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{t}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^i(\lfloor\frac{i}{j}\rfloor+[j\nmid i]) ⇒t=1∑n​μ(t)i=1∑⌊tn​⌋​j=1∑i​(⌊ji​⌋+[j∤i])
= ∑ t = 1 n μ ( t ) ∑ i = 1 ⌊ n t ⌋ ( i − τ ( i ) + ∑ j = 1 i ⌊ i j ⌋ ) =\sum\limits_{t=1}^{n}\mu(t)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{t}\rfloor}(i-\tau(i)+\sum\limits_{j=1}^i \lfloor\frac{i}{j}\rfloor) =t=1∑n​μ(t)i=1∑⌊tn​⌋​(i−τ(i)+j=1∑i​⌊ji​⌋)

其中 τ ( n ) \tau(n) τ(n) 为约数个数函数,且 τ ( i ) \tau (i) τ(i) 是可以线性筛预处理的。那么我们只要处理 ∑ i = 1 ⌊ n t ⌋ ∑ j = 1 i ⌊ i j ⌋ \sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{t}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^i \lfloor\frac{i}{j}\rfloor i=1∑⌊tn​⌋​j=1∑i​⌊ji​⌋ 这一部分即可。再考虑下取整的意义,不难发现,对于 ∀ k ∈ Z + , ⌊ k j j ⌋ = ⌊ k j + 1 j ⌋ = ⌊ k j + 2 j ⌋ = ⋯ = ⌊ ( k + 1 ) j − 1 j ⌋ \forall k \in \mathbb{Z^{+}},\lfloor\frac{kj}{j}\rfloor=\lfloor\frac{kj+1}{j}\rfloor=\lfloor\frac{kj+2}{j}\rfloor=\cdots=\lfloor\frac{(k+1)j-1}{j}\rfloor ∀k∈Z+,⌊jkj​⌋=⌊jkj+1​⌋=⌊jkj+2​⌋=⋯=⌊j(k+1)j−1​⌋ ,那么对于区间 [ k j , ( k + 1 ) j − 1 ] [kj,(k+1)j-1] [kj,(k+1)j−1] ,同时加上值 k k k 即可。这里存在区间修改的问题,那么我们使用差分的技巧在原始的埃式筛中处理,再作两次前缀和即可,此时预处理复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn) 。
最后用数论分块处理就行。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define debug(x) cerr<<#x<<":"<<x<<endl
#define debug2(x,y) cerr<<#x<<":"<<x<<"  "<<#y<<":"<<y<<endl
#define debug3(x,y,z) cerr<<#x<<":"<<x<<"  "<<#y<<":"<<y<<"  "<<#z<<":"<<z<<endl
typedef long long ll;
const int MAX=1e6+5;
const ll M=1e9+7;
int cnt=0;
int D[MAX],S[MAX],SS[MAX],tao[MAX],minp_v[MAX],part[MAX],prime[MAX],ST[MAX],mu[MAX],SM[MAX];
void pre(){
    SM[0]=mu[0]=ST[0]=tao[0]=D[0]=S[0]=SS[0]=0;
    memset(D,0,sizeof(D));
    memset(mu,0,sizeof(D));
    for(int j=1;j<MAX;++j){
        for(int i=1;i*j<MAX;++i){
            int l=i*j,r=(i+1)*j;
            D[l]+=i;
            if(r<MAX) D[r]-=i;
        }
    }
    for(int i=1;i<MAX;++i) S[i]=(S[i-1]+D[i])%M;
    SS[1]=S[1];
    tao[1]=SM[1]=mu[1]=1;
    ST[1]=0;
    for(int i=2;i<MAX;++i){
        if(!part[i]){
            part[i]=i;
            prime[cnt++]=i;
            minp_v[i]=tao[i]=2;
            mu[i]=-1;
        }
        SS[i]=((ll)SS[i-1]+(ll)S[i])%M;
        ST[i]=((ll)ST[i-1]+(ll)i-(ll)tao[i])%M;
        SM[i]=((ll)SM[i-1]+(ll)mu[i])%M;
        for(int j=0;i*prime[j]<MAX;++j){
            part[i*prime[j]]=prime[j];
            if(i%prime[j]){
                tao[i*prime[j]]=tao[i]*tao[prime[j]];
                minp_v[i*prime[j]]=2;
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
            else{
                tao[i*prime[j]]=tao[i]/minp_v[i];
                minp_v[i*prime[j]]=minp_v[i]+1;
                tao[i*prime[j]]*=minp_v[i*prime[j]];
                break;
            }
        }
    }
}
int main(){
    pre();
    int n;
    while(cin>>n){
        ll res=0;
        for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){
            r=n/(n/l);
            res=(res+((ll)SM[r]-(ll)SM[l-1])%M*(((ll)ST[n/l]+(ll)SS[n/l])%M)%M)%M;
        }
        if(res<0) res+=M;
        cout<<res<<endl;
    }
}

意外的,时间并没有超过1秒(题目给了3秒)。
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