概率与期望入门

1 定义性质与定理

• 随机试验：

• • 不能预先确知结果。
  • 试验之前可以预测所有可能结果或范围。
  • 可以在相同条件下重复实验。

• 样本空间：随机试验所有可能结果组成的集合。

• 随机事件：样本空间的任意一个子集称之为事件。

• 事件发生：在一次事件中，事件的一个样本点发生。

• 事件之间的运算都是集合运算。

• 概率：为样本空间的每一个事件定义一个实数，这个实数称为概率，事件 \(A\) 的概率为 \(P(A)\)

• • \(P(A)>0\)
  • \(\sum P(A)=1\)
  • \(A_i\cap A_j=\varnothing\Rightarrow P(A_1\cup A_2\cup...)=P(A_1)+P(A_2)+...\)
  • \(P(\varnothing)=0\)
  • \(A\subset B\Rightarrow P(B-A)=P(B)-P(A)\)
  • \(P(B-A)=P(B)-P(AB)\)
  • \(0\le P(A)\le 1\)
  • \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)

• 条件概率：已知事件 \(B\) 发生时事件 \(A\) 发生的概率是 \(P(A |B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)

• • \(P(\varnothing |A)=0\)
  • \(B_i\cap B_j=\varnothing\Rightarrow P(\cup_{i=1}^nB_i|A)=\sum\limits_{i=1}^nP(B_i|A)\)
  • \(P(\overline{B}|A)=1-P(B|A)\)
  • \(P(B\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)-P(BC|A)\)

• 期望：\(E[f(X)]=\sum\limits_{x}f(x)P(X=x)\)

• • 期望的线性性：\(E[c_1X_1+c_2X_2+...]=c_1E[X_1]+c_xE[X_2]+...\)
  • 如果 \(X_1,X_2\) d独立，则 \(E[X_1X_2]=E[X_1]E[X_2]\)

• 贝叶斯公式：\(B_i\cap B_j=\varnothing,\cup_{i=1}^nB_i=U\Rightarrow P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum P(A|B_j)P(B_j)}\)

  证明只需要注意到分母实际上就是 \(P(A)\)

• 事件 \(A,B\) 独立 \(\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)\)

2 例题

2.1

箱子里有三个 \(1\) 一个 \(2\) ，每次取一个数不放回

• 事件 \(