幂级数
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一.函数项级数
（函数项无穷级数，简称为函数项级数或函数级数）
1.定义
设 u n ( x ) ( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) u_n(x)(n=0,1,2,...) un(x)(n=0,1,2,...)为定义在某实数集合 I I I上的函数序列，称 ∑ n = 1 ∞ u n ( x ) = u 1 ( x ) + u 2 ( x ) + . . . + u n ( x ) + . . . \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+... n=1∑∞un(x)=u1(x)+u2(x)+...+un(x)+...为定义在集合 I I I上的函数项级数
2.函数项级数的收敛性
①定义
设函数 u n ( x ) u_n(x) un(x), n ∈ N + n\in N_+ n∈N+在集合 E E E上有定义且 x 0 ∈ E x_0\in E x0∈E
若常数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x 0 ) \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x_0) n=1∑∞un(x0)收敛，则称函数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x ) \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) n=1∑∞un(x)在点 x 0 x_0 x0处收敛
若常数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x 0 ) \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x_0) n=1∑∞un(x0)绝对收敛（级数 ∑ n = 1 ∞ ∣ u n ( x 0 ) ∣ \sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n(x_0)| n=1∑∞∣un(x0)∣收敛），则称函数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x ) \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) n=1∑∞un(x)在点 x 0 x_0 x0处绝对收敛
②收敛点、收敛域
若数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x 0 ) \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x_0) n=1∑∞un(x0)收敛，则称 x 0 x_0 x0是函数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x ) \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) n=1∑∞un(x)的收敛点，若数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x 0 ) \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x_0) n=1∑∞un(x0)绝对收敛，则称 x 0 x_0 x0是函数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x ) \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) n=1∑∞un(x)的绝对收敛点，否则称为函数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x ) \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) n=1∑∞un(x)的发散点
所有收敛点构成的集合，称为函数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x ) \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) n=1∑∞un(x)的收敛域，所有绝对收敛点构成的集合，称为函数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x ) \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) n=1∑∞un(x)的绝对收敛域，发散点集称为函数项级数 ∑ n = 1 ∞ u n ( x ) \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) n=1∑∞un(x)的发散域
③和函数
设
Ω
\Omega
Ω为函数项级数
∑
n
=
1
∞
u
n
(
x
)
\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)
n=1∑∞un(x)收敛域，在收敛域上，函数项级数的和是
x
x
x的函数
S
(
x
)
S(x)
S(x)，称它为级数的和函数，并写成
S
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
u
n
(
x
)
S(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)
S(x)=n=1∑∞un(x)
若用
S
n
(
x
)
S_n(x)
Sn(x)表示函数项级数前
n
n
n项的和，即
S
n
(
x
)
=
∑
k
=
1
n
u
k
(
x
)
S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k(x)
Sn(x)=k=1∑nuk(x)
令余项 r n ( x ) = S ( x ) − S n ( x ) r_n(x)=S(x)-S_n(x) rn(x)=S(x)−Sn(x),则在收敛域上有 lim n → ∞ S n ( x ) = S ( x ) lim n → ∞ r n ( x ) = 0 \lim\limits_{n\rightarrow \infty}S_n(x)=S(x)\qquad \lim\limits_{n\rightarrow \infty}r_n(x)=0 n→∞limSn(x)=S(x)n→∞limrn(x)=0
例：等比级数
∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + . . . + x n + . . . \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n=1+x+x^2+...+x^n+... n=0∑∞xn=1+x+x2+...+xn+... 其收敛域为 ∣ x ∣ < 1 , |x|<1, ∣x∣<1,发散域为 ∣ x ∣ ⩾ 1 , |x|\geqslant1, ∣x∣⩾1,在收敛域内和函数为 1 1 − x \dfrac{1}{1-x} 1−x1,即有：
∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 − x , ∀ x ∈ ( − 1 , 1 ) \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n=\dfrac{1}{1-x},\quad \forall x\in(-1,1) n=0∑∞xn=1−x1,∀x∈(−1,1)
二.幂级数
1.定义
形如
∑
n
=
0
∞
a
n
x
n
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
x
n
+
.
.
.
(
1
)
\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n+...\qquad(1)
n=0∑∞anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...(1)
的函数项级数，叫做
x
x
x的幂级数，其中常数
a
n
(
n
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
)
a_n(n=0,1,2,...)
an(n=0,1,2,...)叫做幂级数的系数
更一般地，形如
∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n = a 0 + a 1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) 2 + . . . + a n ( x − x 0 ) n + . . . ( 2 ) \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+...+a_n(x-x_0)^n+...\qquad(2) n=0∑∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+...+an(x−x0)n+...(2)
的函数项级数，叫做 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0)的幂级数,其中 x 0 x_0 x0为固定值 显然通过变换 t = x − x 0 t=x-x_0 t=x−x0,就可把级数（2）化为级数（1）的形式，故研究（1）,（2）的收敛性问题是等价的，下研究(1)
即是 x 0 = 0 x_0=0 x0=0的形式
2.阿贝尔定理
若 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n n=0∑∞anxn在 x = z 0 x=z_0 x=z0处收敛，则对 ∣ x ∣ < ∣ z 0 ∣ |x|<|z_0| ∣x∣<∣z0∣的一切 x x x处 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n n=0∑∞anxn均绝对收敛；
若 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n n=0∑∞anxn在 x = z 1 x=z_1 x=z1处发散，则对 ∣ x ∣ > ∣ z 1 ∣ |x|>|z_1| ∣x∣>∣z1∣的一切 x x x处 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n n=0∑∞anxn均发散.
推论
± R \pm R ±R为敛散域分界点
若 R = 0 R=0 R=0，则 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n n=0∑∞anxn仅在 x = 0 x=0 x=0处收敛
若 R = + ∞ R=+\infty R=+∞，则 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n n=0∑∞anxn在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)上均收敛
若 0 < R < + ∞ 0<R<+\infty 0<R<+∞，则 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n n=0∑∞anxn在 ( − R , R ) (-R,R) (−R,R)内收敛，在 [ − R , R ] [-R,R] [−R,R]外发散， ± R \pm R ±R处敛散不定
定义：
称 R R R为函数项级数 ∑ n = 0 ∞ a n ( x ) \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x) n=0∑∞an(x)的收敛半径， ( − R , R ) (-R,R) (−R,R)为函数项级数 ∑ n = 0 ∞ a n ( x ) \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x) n=0∑∞an(x)的收敛区间， ( − R , R ) (-R,R) (−R,R)并上收敛端点为收敛域
注：
∀ x ∈ ( − R , R ) , ∃ z 0 ∈ ( − R , R ) \forall x\in(-R,R),\exists z_0\in(-R,R) ∀x∈(−R,R),∃z0∈(−R,R)使得 ∣ x ∣ < ∣ z 0 ∣ < R |x|<|z_0|<R ∣x∣<∣z0∣<R, 因 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n n=0∑∞anxn在 z 0 z_0 z0处收敛，所以 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n n=0∑∞anxn在 x x x处绝对收敛
3.定理（关于收敛半径）
对于函数项级数
∑
n
=
1
∞
a
n
(
x
)
\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(x)
n=1∑∞an(x)，设
lim
n
→
∞
∣
a
n
+
1
a
n
∣
=
ρ
\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\bigg|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|=\rho
n→∞lim∣∣∣∣anan+1∣∣∣∣=ρ,则：
R
=
{
1
ρ
,
0
<
ρ
<
+
∞
+
∞
,
ρ
=
0
0
,
ρ
=
+
∞
R=\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{\rho},& \quad0<\rho<+{\infty}\\ +{\infty},&\rho=0\\0, &\rho=+{\infty}\end{array}\right.
R=⎩⎪⎨⎪⎧ρ1,+∞,0,0<ρ<+∞ρ=0ρ=+∞
收敛半径的计算方法
R = lim n → + ∞ ∣ a n a n + 1 ∣ R=\lim\limits{n\rightarrow+\infty}\bigg|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\bigg| R=limn→+∞∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣或 R = lim n → + ∞ 1 ∣ a n ∣ n R=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}} R=n→+∞limn∣an∣ 1
三.幂级数运算
设
∑
n
=
0
∞
a
n
x
n
\sum\limits_{n=0}^ {\infty} a_nx^n
n=0∑∞anxn,
∑
n
=
0
∞
b
n
x
n
\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n
n=0∑∞bnxn的收敛半径分别为
R
1
,
R
2
R_1,R_2
R1,R2，其和函数分别为
f
(
x
)
,
g
(
x
)
f(x),g(x)
f(x),g(x),令
R
=
min
{
R
1
,
R
2
}
R=\min\{R_1,R_2\}
R=min{R1,R2}
1.加减乘除
①加减法
∑ n = 0 ∞ ( a n ± b n ) x n = ∑ n = 0 ∞ a n x n ± ∑ n = 0 ∞ b n x n = f ( x ) ± g ( x ) , \sum\limits_{n=0}^{\infty}(a_n \pm b_n)x^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n \pm\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n=f(x)\pm g(x),\qquad n=0∑∞(an±bn)xn=n=0∑∞anxn±n=0∑∞bnxn=f(x)±g(x), ∣ x ∣ < R |x|< R ∣x∣<R
②数乘
∑ n = 0 ∞ λ a n x n = λ ∑ n = 0 ∞ a n x n , ∣ x ∣ < R 1 , λ ∈ ( − ∞ , + ∞ ) \sum\limits_{n=0}^{\infty}\lambda a_nx^n=\lambda \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n,\qquad|x|<R_1,\lambda\in(-\infty,+\infty) n=0∑∞λanxn=λn=0∑∞anxn,∣x∣<R1,λ∈(−∞,+∞)
③乘法
f ( x ) ⋅ g ( x ) = ( ∑ n = 0 ∞ a n x n ) ⋅ ( ∑ n = 0 ∞ b n x n ) = a 0 b 0 + ( a 0 b 1 + a 1 b 0 ) x + ( a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 ) x 2 + . . . + ( a 0 b n + a 1 b n − 1 + a 2 b n − 2 + . . . + a n b n ) x n + . . . = ∑ n = 0 ∞ c n x n ∣ x ∣ < R f(x)\cdot g(x)=(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n)\cdot (\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n)=a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)x+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)x^2+\\...+(a_0b_n+a_1b_{n-1}+a_2b_{n-2}+...+a_nb_n)x^n+...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nx^n \qquad|x|< R f(x)⋅g(x)=(n=0∑∞anxn)⋅(n=0∑∞bnxn)=a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+...+(a0bn+a1bn−1+a2bn−2+...+anbn)xn+...=n=0∑∞cnxn∣x∣<R
其中 c n = ∑ n = 0 ∞ a k b n − k c_n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_kb_{n-k} cn=n=0∑∞akbn−k
④除法
f ( x ) g ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n ∑ n = 0 ∞ b n x n ≜ ∑ n = 0 ∞ c n x n \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n}{\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n}\triangleq \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nx^n g(x)f(x)=n=0∑∞bnxnn=0∑∞anxn≜n=0∑∞cnxn, c n c_n cn待定，R需要重新确定
∑ n = 0 ∞ a n x n = ( ∑ n = 0 ∞ b n x n ) ⋅ ( ∑ n = 0 ∞ c n x n ) \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=(\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n)\cdot(\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nx^n) n=0∑∞anxn=(n=0∑∞bnxn)⋅(n=0∑∞cnxn)
注：
①加减乘之后,收敛半径取两个收敛半径的最小值，除法定义为乘法的逆运算
②
2.分析性质
设 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n n=0∑∞anxn收敛半径为R，则其和函数 S ( x ) S(x) S(x)在收敛域上连续，且在收敛区间内（不含端点）可逐项求导与逐项积分，
运算后收敛半径不变,但是收敛区间端点处的敛散性可能会改变
四.泰勒级数
1.泰勒公式回顾
若
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0的某邻域
U
(
x
0
)
U(x_0)
U(x0)内有
n
+
1
n+1
n+1阶导数，则
f
(
x
)
f(x)
f(x)可表示为：
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
1
!
(
x
−
x
0
)
+
f
′
′
(
x
0
)
2
!
(
x
−
x
0
)
2
+
.
.
.
+
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
(
x
−
x
0
)
n
+
R
n
(
x
)
(
∗
)
f(x)=f(x_0)+\dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\qquad (*)
f(x)=f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+...+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)(∗)
其中
R
n
(
x
)
=
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
x
0
)
n
+
1
ξ
介
于
x
0
,
x
之
间
R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\qquad\xi介于x_0,x之间
Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1ξ介于x0,x之间
(
∗
)
(*)
(∗)式即为函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
x_0
x0处展开的泰勒公式，
R
n
(
x
)
R_n(x)
Rn(x)是拉格朗日型余项
2.泰勒级数
若
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0的某邻域
U
(
x
0
)
U(x_0)
U(x0)内是无穷次连续可微的（在某邻域
U
(
x
0
)
U(x_0)
U(x0)内有任意阶导数），则f(x)展成的幂级数
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
(
x
−
x
0
)
n
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
1
!
(
x
−
x
0
)
+
f
′
′
(
x
0
)
2
!
(
x
−
x
0
)
2
+
.
.
.
+
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
(
x
−
x
0
)
n
+
.
.
.
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n=f(x_0)+\dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+...
n=0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n=f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+...+n!f(n)(x0)(x−x0)n+...
称为函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0处（诱导出）的泰勒级数，特别地，当
x
0
=
0
x_0=0
x0=0时，称幂级数
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
x
n
=
f
(
0
)
+
f
′
(
0
)
1
!
(
x
)
+
f
′
′
(
)
2
!
(
x
)
2
+
.
.
.
+
f
(
n
)
(
0
)
n
!
(
x
)
n
+
.
.
.
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}x^n=f(0)+\dfrac{f'(0)}{1!}(x)+\dfrac{f''()}{2!}(x)^2+...+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}(x)^n+...
n=0∑∞n!f(n)(x0)xn=f(0)+1!f′(0)(x)+2!f′′()(x)2+...+n!f(n)(0)(x)n+...
为
f
(
x
)
f(x)
f(x)(诱导出)的麦克劳林级数
有和函数，但不收敛于 f ( x ) f(x) f(x)的例子：
3.定理
设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0的某邻域
U
(
x
0
)
U(x_0)
U(x0)内是无穷次连续可微的（在某邻域
U
(
x
0
)
U(x_0)
U(x0)内有任意阶导数）,则它的泰勒级数
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
(
x
−
x
0
)
n
\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
n=0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n
在
U
(
x
0
)
U(x_0)
U(x0)内收敛于
f
(
x
)
f(x)
f(x)的充要条件是
lim
n
→
∞
R
n
(
x
)
=
0
,
x
∈
U
(
x
0
)
\lim_{n\rightarrow \infty}R_n(x)=0,\qquad x\in U(x_0)
n→∞limRn(x)=0,x∈U(x0)
f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件
4.定理（幂级数展开的唯一性）
若函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0的某邻域内可展开为幂级数
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
x
0
)
n
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n
f(x)=n=0∑∞an(x−x0)n
则其系数
a
n
=
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
(
n
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
)
(
n
!
=
0
,
f
(
0
)
(
x
0
)
=
f
(
x
0
)
)
a_n=\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\quad (n=0,1,2,...)\qquad(n!=0,f^{(0)}(x_0)=f(x_0))
an=n!f(n)(x0)(n=0,1,2,...)(n!=0,f(0)(x0)=f(x0))
这种展开式是唯一的，且与它的麦克劳林级数相同
总结：
以上两定理说明：在 x 0 x_0 x0的某邻域内，若函数 f ( x ) f(x) f(x)具有各阶导数，且其泰勒公式的余项 R n ( x ) R_n(x) Rn(x)趋于零(当n→∞时)，则 f ( x ) f(x) f(x)可展开为幂级数，且其展开式是唯一的，就是 f ( x ) f(x) f(x)的泰勒级数
5.将函数在 x 0 x_0 x0附近展开为幂级数
①直接展开法
步骤：
Ⅰ.求f(x)的各阶导数
f
′
(
x
)
,
f
′
′
(
x
)
,
.
.
.
,
f
(
n
)
(
x
)
.
.
.
;
f'(x),f''(x),...,f^{(n)}(x)...;
f′(x),f′′(x),...,f(n)(x)...;
Ⅱ.计算
f
′
(
x
0
)
,
f
′
′
(
x
0
)
,
.
.
.
,
f
(
n
)
(
x
0
)
.
.
.
;
f'(x_0),f''(x_0),...,f^{(n)}(x_0)...;
f′(x0),f′′(x0),...,f(n)(x0)...;
Ⅲ.写出泰勒级数
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
1
!
(
x
−
x
0
)
+
f
′
′
(
x
0
)
2
!
(
x
−
x
0
)
2
+
.
.
.
+
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
(
x
−
x
0
)
n
+
.
.
.
f(x_0)+\dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+...
f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+...+n!f(n)(x0)(x−x0)n+...
并确定其收敛半径
R
R
R及收敛域
不收敛就谈不上有和
Ⅳ.在收敛域内，求使 lim n → ∞ R n ( x ) = 0 \lim\limits_{n\rightarrow \infty}R_n(x)=0 n→∞limRn(x)=0的区间，就是函数的幂级数展开区间
或验证 f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f(n)(x)有界，即 ∣ f ( n ) ( x ) ∣ ⩽ M |f^{(n)}(x)|\leqslant M ∣f(n)(x)∣⩽M
常用的麦克劳林级数：
e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + ⋯ + 1 n ! x n + ⋯ , x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) e^x=1+x+\dfrac{1}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{1}{n!}x^n+\cdots,\qquad x\in(-\infty,+\infty) ex=1+x+2!1x2+⋯+n!1xn+⋯,x∈(−∞,+∞)
sin x = x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − 1 7 ! x 7 + ⋯ + ( − 1 ) n 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 + ⋯ , x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) \sin x=x-\dfrac{1}{3!}x^3+\dfrac{1}{5!}x^5-\dfrac{1}{7!}x^7+\cdots +(-1)^n\dfrac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\cdots,\qquad x\in(-\infty,+\infty) sinx=x−3!1x3+5!1x5−7!1x7+⋯+(−1)n(2n+1)!1x2n+1+⋯,x∈(−∞,+∞)
cos x = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − 1 6 ! x 6 + ⋯ + ( − 1 ) n 1 ( 2 n ) ! x 2 n + ⋯ , x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) \cos x=1-\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{4!}x^4-\dfrac{1}{6!}x^6+\cdots +(-1)^n\dfrac{1}{(2n)!}x^{2n}+\cdots,\qquad x\in(-\infty,+\infty) cosx=1−2!1x2+4!1x4−6!1x6+⋯+(−1)n(2n)!1x2n+⋯,x∈(−∞,+∞)
( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ！ x 2 + ⋯ α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) n ! + ⋯ x ∈ ( − 1 , 1 ) (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha -1)}{2！}x^2+\cdots\dfrac{\alpha(\alpha -1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}+\cdots\qquad x\in(-1,1) (1+x)α=1+αx+2！α(α−1)x2+⋯n!α(α−1)⋯(α−n+1)+⋯x∈(−1,1)
此式称为二项展开式
注：
（1）在 x = ± 1 x=\pm 1 x=±1处的收敛性与 α \alpha α有关 (2) α \alpha α为正整数时，级数为 x x x的 α \alpha α次多项式，上式就是代数学中的二项式定理
α \alpha α对应不同的值时：
1 + x = 1 + 1 2 x − 1 2 ⋅ 4 x 2 + 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ⋅ 6 x 3 − 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 x 4 + ⋯ x ∈ [ − 1 , 1 ] \sqrt{1+x}=1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2\cdot 4}x^2+\dfrac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6}x^3-\dfrac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8}x^4+\cdots\qquad x\in[-1,1] 1+x =1+21x−2⋅41x2+2⋅4⋅61⋅3x3−2⋅4⋅6⋅81⋅3⋅5x4+⋯x∈[−1,1]
1 1 + x = 1 − 1 2 x + 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 x 2 − 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 x 3 + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 x 4 − ⋯ x ∈ ( − 1 , 1 ] \dfrac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}x^2-\dfrac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}x^3+\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdot 7}{2\cdot4\cdot6\cdot8}x^4-\cdots\qquad x\in(-1,1] 1+x 1=1−21x+2⋅41⋅3x2−2⋅4⋅61⋅3⋅5x3+2⋅4⋅6⋅81⋅3⋅5⋅7x4−⋯x∈(−1,1]
1 1 + x = 1 − x + x 2 − x 3 + ⋯ + ( − 1 ) n x n + ⋯ x ∈ ( − 1 , 1 ) \dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^nx^n+\cdots\qquad x\in(-1,1) 1+x1=1−x+x2−x3+⋯+(−1)nxn+⋯x∈(−1,1)
1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ + x n + ⋯ x ∈ ( − 1 , 1 ) \dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots\qquad x\in(-1,1) 1−x1=1+x+x2+x3+⋯+xn+⋯x∈(−1,1)
插播： sin x \sin x sinx在x=0处的1，3，5阶泰勒展开式在 [ − 2 π , 2 π ] [-2\pi,2\pi] [−2π,2π]时的图形
#python代码
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#阶乘factorial
def fac(n):return(1 if n<1 else n*fac(n-1))
#项
def item(n,x):return (-1)**n*x**(2*n+1)/fac(2*n+1)
#sinx近似值
def mysin(n,x):return(0 if n<0 else mysin(n-1,x)+item(n,x))
x=np.linspace(-2*np.pi,2*np.pi,101)
plt.plot(x,np.sin(x),'*-')
str=['v-','H--','*-']
for n in [1,2,3]:plt.plot(x,mysin(2*n-1,x),str[n-1])
plt.legend(['sin','n=1','n=3','n=5'])
plt.savefig('figure_sinx_Taylor.png',dpi=500);
plt.show()
图象：
②间接展开法
有些函数用直接展开法展开计算量会非常大，且对许多函数来讲，求各阶导数与拉格朗日余项趋于零的范围也很困难，故可以借助已知的幂级数展开式通过变量代换，幂级数的运算等，得到函数的幂级数展开式
根据展开的唯一性，间接展开法与直接展开法得到的结果一致