群论基础(1):群的定义

我有一定概率在2023年上研究生的《群论》课。这个概率较小,但我不妨整理点笔记,做点准备。
群论体现了人类史上伟大的洞察力和天才的想象力。而且它并不难,就是要慢慢整理整理。

我真希望有一天,人能发现新的表述语言,让复杂的东西显得简单。因为我相信,在遥远的外星球,或许存在一些外星人。一定有一些东西对我们是复杂的,对他们却是简单的;有一些东西对我们是简单的,对他们反而是复杂的;这是因为任何一种表述语言和认知思维都有惯性,就像《庄子》中描述的混沌,这种惯性是知识的irony。所以,如果能发现新的表述语言,让复杂的东西显得简单,那么就绝不是新瓶装旧酒,而是美丽新发现。

1.引入

1.1 雪花的对称性

群论基础(1):群的定义
如图所示,这是一片雪花。为何雪花带给我们美感?如果抛开诗词歌赋带给我们的联想,我们是否还会认为它有美感?
也许会,也许不会。但我们能感受到这种晶莹剔透,这种晶莹剔透带给我们纯洁的感觉。
除此以外,我们也许还会注意到,它的结构是高度对称的。旋转 60度、120度、180度、240度、300度、360度,都会与自身几乎重合。
那么,如何用数学的语言,精确而简洁地刻画这种旋转对称性?
答案是6阶循环群:\(\{ E, C^1_6, C^2_6, \cdots, C^5_6 \}\)。(逐一解释每个符号)
这是一个非常抽象的记号。为何说抽象?因为它并不依赖于雪花的具体形状,下面还有 21 种雪花,都符合 6 阶循环群的描述。
群论基础(1):群的定义
此外,动画片的六芒星魔法阵也符合六阶循环群。
群论基础(1):群的定义

1.2 镜面对称

群论基础(1):群的定义
群论基础(1):群的定义
镜子外面的每一个细微之处,都会精确地显示在镜子中。
如何用数学的语言,精确地描述这种反射对称性?
答案是 2 阶群:\(\{ E, \sigma \}\)(逐一解释每个符号)。
这个符号也是抽象的,因为它不仅可以描述镜面对称,还可以描述空间反演对称性。

1.3 小结

六阶循环群\(\{ E, C^1_6, C^2_6, \cdots, C^5_6 \}\)揭示了雪花的六阶循环对称性,二阶群揭示了镜面反射对称性。
这两个群抽象出的仅仅是对称性,而忽略了雪花的具体形态,也忽略了镜中少女的容颜。
正因为这种高度的抽象,它具有普适性,可以适用于任何具有6阶旋转对称、或二阶反演对称的对象。

后面的内容先写个纲要,有空了就扩充扩充。

2. 群的定义

  1. 封闭性

2)“乘法”结合律

3)单位元

4)逆元

阿贝尔群,有限群,有限群的阶,连续群,无限不连续群,对称群(物理系统)

例:整数加法、非0实数乘法、2维转动群、空间反演群、非奇异矩阵

3. 置换群

1)置换群定义:
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \
p_1 & p_2 & p_3 & \cdots & p_n
\end{array}
\right)
\end{equation}

2)置换用轮换、对换表达

置换一定可以用没有公共元素的轮换的乘积表达,比如
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
3 & 4 & 5 & 2 & 1
\end{array}
\right)
= (135)(24)
\end{equation}
轮换一定可以用对换的乘积表达,比如
\begin{equation}
(1234) = (234)(14)
\end{equation}
以此类推,
\begin{equation}
(1234) = (234)(14) = (34)(24)(14)
\end{equation}
所以,所有置换都可以用对换表达。

另外,对换\((ij)\)和\((jk)\)可以构造出\((ik)\),
\begin{equation}
(ij)(jk)(ij) = (ik).
\end{equation}
所以,相互独立的对换只有\(n-1\)个,可设为\((1,2),(2,3),\cdots,(n-1,n)\).
它们构成置换群\(S_n\)的生成元。

3)生成元、宇称(奇置换/偶置换)

4. 子群

例:{e, R(180°)} \(\subset\) 二维转动群

5. 同构和同态

  1. 同构

例:\(C_{3v}\) 群和 \(S_3\) 群同构

例:\(S_4\)的四个\(S_3\)子群同构

Caley定理:任何一个n阶有限群,都和置换群\(S_n\)的某一个子群同构。(unchecked)

!!!这说明置换群包括了所有有限群

  1. 同态

例:\(S_2\) 同态于\(C_{3v}\)

\(\{ e, C_3, C^2_3 \} \rightarrow e\);\(\{ \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \} \rightarrow (12)\).

6 共轭元素类

共轭(相似)元素

例:\(C_{3v}\)群中的类

ambivalent 类:包含类中元素的逆元

置换群的类(unchecked)

7 陪集,Lagrange定理

Lagrange定理:群G的阶g必为其子群H的阶h的整数倍:\(g = mh, m \in Z^+\).

8 不变子群 商群

不变子群:它的任一左陪集 = 相应右陪集

单纯群:不包含不变子群

半纯群:不包含阿贝尔不变子群

商群:若G存在不变子群H,则可以把G划分为\(\{ H, a_2 H, \cdots, a_m H \}\),将其中每个陪集看作一个元素,构成一个与G同态的群,叫做商群 G/H。

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