数学菜狗啥也不会，只好把看到的一些有用的柿子赶紧写下来，不然就忘了。
不定期更新。
幂次变斯特林数
\[\large m^n = \sum_{i = 0}^{\min(n,m)} \begin{Bmatrix} n \\i\end{Bmatrix} \binom{m}{i} i! \]其中 \(\begin{Bmatrix} n \\i\end{Bmatrix}\) 是第二类斯特林数。
证明 ：
看十二重计数法
从组合意义考虑，\(m^n\) 是 \(n\) 个互不相同球放进 \(m\) 个互不相同盒子的方案数（允许有空盒）。
然后 \(\dbinom{m}{i} i!\) 可以理解为 \(m\) 个互不相同盒子选出 \(i\) 个的方案。
枚举多少个盒子是空着的，然后乘以表示分为非空子集方案数的第二类斯特林数得到总方案数。
证毕。
学长的组合数恒等式博客