复变函数的极限和连续性
函数的极限
定义
设函数
w
=
f
(
z
)
w=f(z)
w=f(z)定义在
z
0
z_0
z0的去心邻域
0
<
∣
z
−
z
0
∣
<
ρ
0<|z-z_0|<\rho
0<∣z−z0∣<ρ内。如果有一确定的数
A
A
A存在，对于任意给定的
ε
>
0
\varepsilon>0
ε>0，相应地必有一正数
δ
(
ε
)
(
o
<
δ
≤
ρ
)
\delta(\varepsilon)(o<\delta\leq\rho)
δ(ε)(o<δ≤ρ)，使得当
o
<
∣
z
−
z
0
∣
<
δ
o<|z-z_0|<\delta
o<∣z−z0∣<δ时有
∣
f
(
z
)
−
A
∣
<
ε
|f(z)-A|<\varepsilon
∣f(z)−A∣<ε
那么称
A
A
A为
f
(
z
)
f(z)
f(z)当
z
z
z趋向于
z
0
z_0
z0时的极限，记作
lim
z
−
z
0
f
(
z
)
=
A
\lim\limits_{z-z_0}f(z)=A
z−z0limf(z)=A，或记作当
z
→
z
0
z\to z_0
z→z0时，
f
(
z
)
→
A
f(z)\to A
f(z)→A
定义中
z
z
z趋向于
z
0
z_0
z0的方式是任意的
定理一
设
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，
A
=
u
0
+
i
v
0
A=u_0+iv_0
A=u0+iv0，
z
0
=
x
0
+
i
y
0
z_0=x_0+iy_0
z0=x0+iy0，那么
lim
z
−
z
0
f
(
z
)
=
A
\lim\limits_{z-z_0}f(z)=A
z−z0limf(z)=A的充要条件是
lim
y
→
y
0
x
→
x
0
u
(
x
,
y
)
=
u
0
\lim\limits_{ ^{x \to x_0 }_{ ^{y \to y_0}}}u(x,y)=u_0
y→y0x→x0limu(x,y)=u0，
lim
y
→
y
0
x
→
x
0
v
(
x
,
y
)
=
v
0
\lim\limits_{ ^{x \to x_0 }_{ ^{y \to y_0}}}v(x,y)=v_0
y→y0x→x0limv(x,y)=v0
定理二
如果 lim z → z 0 f ( z ) = A \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A z→z0limf(z)=A， lim z → z 0 g ( z ) = B \lim\limits_{z\to z_0}g(z)=B z→z0limg(z)=B，那么
- lim z → z 0 [ f ( z ) ± g ( z ) ] = A ± B \lim\limits_{z\to z_0}[f(z)\pm g(z)]=A\pm B z→z0lim[f(z)±g(z)]=A±B
- lim z → z 0 f ( z ) g ( z ) = A B \lim\limits_{z\to z_0}f(z)g(z)=AB z→z0limf(z)g(z)=AB
- lim z → z 0 f ( z ) g ( z ) = A B \lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{A}{B} z→z0limg(z)f(z)=BA ( B ≠ 0 ) (B\neq 0) (B=0)
函数的连续性
定义
如果 lim z → z 0 f ( z ) = f ( z 0 ) \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=f(z_0) z→z0limf(z)=f(z0)，那么我们就说 f ( z ) f(z) f(z)在 z 0 z_0 z0处连续。如果 f ( z ) f(z) f(z)在区域 D D D内处处连续，我们就说 f ( z ) f(z) f(z)在 D D D内连续。
定理三
函数 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在 z 0 = x 0 + i y 0 z_0=x_0+iy_0 z0=x0+iy0处连续的充要条件是： u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)和 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y)在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处连续。
定理四
- 在 z 0 z_0 z0连续的两个函数 f ( z ) f(z) f(z)与 g ( z ) g(z) g(z)的和、差、积、商（分母在 z 0 z_0 z0不为零）在 z 0 z_0 z0处连续
- 如果函数 h = g ( z ) h=g(z) h=g(z)在 z 0 z_0 z0连续，函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)在 h 0 = g ( z 0 ) h_0=g(z_0) h0=g(z0)连续，那么复合函数 w = f [ g ( z ) ] w=f[g(z)] w=f[g(z)]在 z 0 z_0 z0处连续