最小生成树---Prim算法和Kruskal算法

2022-05-24 10:04:28

Prim算法

1.概览

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

2.算法简单描述

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；

3).重复下列操作，直到Vnew = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；

4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

示例图演示:

最小生成树---Prim算法和Kruskal算法

下面对算法的图例描述:

图例 说明 不可选 可选 已选（Vnew）

最小生成树---Prim算法和Kruskal算法

 此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 - - -

最小生成树---Prim算法和Kruskal算法

 顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。 C, G A, B, E, F D

最小生成树---Prim算法和Kruskal算法

 下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 C, G B, E, F A, D
最小生成树---Prim算法和Kruskal算法 算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 C B, E, G A, D, F

最小生成树---Prim算法和Kruskal算法

 在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 无 C, E, G A, D, F, B

最小生成树---Prim算法和Kruskal算法

 这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。 无 C, G A, D, F, B, E

最小生成树---Prim算法和Kruskal算法

 顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。 无 G A, D, F, B, E, C

最小生成树---Prim算法和Kruskal算法

 现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。 无 无 A, D, F, B, E, C, G

3.简单证明prim算法

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G0

2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0)   则在Gmin中存在<u,v>不属于G0

3).将<u,v>加入G0中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立，命题得证.

Kruskal算法

1.概览

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

2.算法简单描述

1).记Graph中有v个顶点，e个边

2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边

3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中

添加这条边到图Graphnew中

示例图演示:

最小生成树---Prim算法和Kruskal算法

图例描述：

最小生成树---Prim算法和Kruskal算法

首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边

最小生成树---Prim算法和Kruskal算法

将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图

最小生成树---Prim算法和Kruskal算法

在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

最小生成树---Prim算法和Kruskal算法

依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

最小生成树---Prim算法和Kruskal算法

下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右：

3.简单证明Kruskal算法

对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。

归纳基础：

n=1，显然能够找到最小生成树。

归纳过程：

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。

我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。

用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal算法得证。

下面使用java程序演示Prim算法：

代码如下:

package com.itheima.primer;

import java.util.ArrayList;

import java.util.List;

import java.util.Scanner;

/**

 * 最小生成树(普里姆算法(Prim算法))

 * @author zhangming

 * @date 2016/04/20

 */

public class MinTreePrimer {

    private static List<Vertex> visitedVertexs,leftedVertexs; //分别为添加到集合U中的节点集和剩余的集合V中的节点集

    private static List<Edge> searchEdges;

    //初始化图的信息

    public static void initGraph(Graph g){

        visitedVertexs = new ArrayList<Vertex>();

        leftedVertexs = new ArrayList<Vertex>();

        searchEdges = new ArrayList<Edge>();

        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        System.out.print("输入顶点数: ");

        int vertexNumber = sc.nextInt();

        System.out.print("请输入边数: ");

        int edgeNumber = sc.nextInt();

        String[] allVertex = new String[vertexNumber];

        String[] allEdge = new String[edgeNumber];

        System.out.println("=================================");

        System.out.println("请输入各个顶点:");

        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        for(int i=0;i<vertexNumber;i++){

            System.out.print("顶点"+(i+1)+":");

            allVertex[i] = scanner.nextLine();

        }

        System.out.println("=================================");

        for(int i=0;i<edgeNumber;i++){

            System.out.print("输入边(Vi,Vj)中的顶点名称和权值W(如:A B 7): ");

            allEdge[i] = scanner.nextLine();

        }

        g.vertex = new Vertex[allVertex.length];

        g.edge = new Edge[allEdge.length];

        g.minWeight = 0;

        for(int i=0;i<allVertex.length;i++){

            g.vertex[i] = new Vertex();

            g.vertex[i].vName = allVertex[i];

            leftedVertexs.add(g.vertex[i]); //初始化剩余点集合

        }

        for(int i=0;i<allEdge.length;i++){

            g.edge[i] = new Edge();

            g.edge[i].startVertex = new Vertex();

            g.edge[i].endVertex = new Vertex();

            String edgeInfo[] = allEdge[i].split(" ");

            g.edge[i].startVertex.vName = edgeInfo[0];

            g.edge[i].endVertex.vName = edgeInfo[1];

            g.edge[i].weight = Integer.parseInt(edgeInfo[2]);

        }

    }

    public static void onChangeVertex(Vertex vertex){

        visitedVertexs.add(vertex); //添加初始节点,作为默认的开始节点

        leftedVertexs.remove(vertex);

    }

    public static Vertex findOneVertex(Graph g){

        int minValue = Integer.MAX_VALUE;

        Vertex findVertex = new Vertex();

        Edge findEdge = new Edge();

        for(int i=0;i<visitedVertexs.size();i++){

            for(int j=0;j<leftedVertexs.size();j++){

                Vertex v1 = visitedVertexs.get(i);

                Vertex v2 = leftedVertexs.get(j); //获取两个顶点的名称

                for(int k=0;k<g.edge.length;k++){

                    String startName = g.edge[k].startVertex.vName;

                    String endName = g.edge[k].endVertex.vName;

                    if((v1.vName.equals(startName) && v2.vName.equals(endName))
　　　　　　　　　　　　　　　　||(v1.vName.equals(endName) && v2.vName.equals(startName))){

                        if(g.edge[k].weight < minValue){

                            findEdge = g.edge[k];

                            minValue = g.edge[k].weight;

                            if(leftedVertexs.contains(v1)){ //会调用对象的equals方法比较对象,需重写equals方法

                                findVertex = v1;

                            }else if(leftedVertexs.contains(v2)){

                                findVertex = v2;

                            }

                        }

                    }

                }

            }

        }

        g.minWeight+= minValue;

        searchEdges.add(findEdge);

        return findVertex;

    }

    public static void prim(Graph g){

        while(leftedVertexs.size()>0){ //直到剩余节点集为空时结束循环

            Vertex findVertex = findOneVertex(g);

            onChangeVertex(findVertex);

        }

        System.out.print("\n最短路径包含的边: ");

        for(int i=0;i<searchEdges.size();i++){

            System.out.print("("+searchEdges.get(i).startVertex.vName+","+searchEdges.get(i).endVertex.vName+")"+" ");

        }

        System.out.println("\n最短路径长度: "+g.minWeight);

    }

    public static void main(String[] args) {

        Graph g = new Graph();

        initGraph(g);

        onChangeVertex(g.vertex[0]);

        prim(g);

    }

}

/**

 * 顶点类Vertex

 */

class Vertex{

    String vName; //顶点的名称

    @Override

    public boolean equals(Object obj) {

        if(obj instanceof Vertex){

            Vertex vertex = (Vertex)obj;

            return this.vName.equals(vertex.vName);

        }

        return super.equals(obj);

    }

}

/**

 * 边类Edge

 */

class Edge{

    Vertex startVertex;

    Vertex endVertex;

    int weight;

}

/**

 * 图的存储结构

 */

class Graph{

    Vertex[] vertex; //顶点集

    Edge[] edge; //边集

    int minWeight; //最短路径

}

运行结果截图:

最小生成树---Prim算法和Kruskal算法

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