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前言
最近发现一些有趣的事，这些事都是围绕着“点”发生的，一个个看似不起眼的“点”却有着非常大的影响力。这些点分为三类：连续点、间断点、可导点。下面将对其分别展开介绍。
一、邻域
邻域定义为：
设
δ
>
0
\delta>0
δ>0，实数集
U
δ
(
x
0
)
=
{
x
∣
∣
x
−
x
0
∣
<
δ
}
U_\delta(x_0) = \{x\mid | x-x_0|<\delta \}
Uδ(x0)={x∣∣x−x0∣<δ} 称为
x
0
x_0
x0 的
δ
\delta
δ 邻域，如果不必说及邻域半径
δ
\delta
δ 的大小，则简记为
U
(
x
0
)
U(x_0)
U(x0)，称为
x
0
x_0
x0 的某邻域。
这里出现了第一个重要的“点”，即
x
0
x_0
x0。
x
0
x_0
x0 的邻域可通俗理解为由如下两部分构成的点集：
- 到 x 0 x_0 x0 的距离 小于 δ \delta δ 的点的集合
- x 0 x_0 x0 自身
去心邻域定义为：
U
˚
δ
(
x
0
)
=
{
x
∣
0
<
∣
x
−
x
0
∣
<
δ
}
\mathring{U}_\delta(x_0) = \{x\mid 0<| x-x_0|<\delta \}
U˚δ(x0)={x∣0<∣x−x0∣<δ} 称为
x
0
x_0
x0 的 去心
δ
\delta
δ 邻域。
x
0
x_0
x0 的去心邻域可通俗理解为由一部分构成的点集：
- 到 x 0 x_0 x0 的距离 小于 δ \delta δ 且 不等于0 的点的集合
从去心邻域和邻域的定义可以看出，去心邻域的“去心”指的就是去掉了 x 0 x_0 x0 自身 这个点。
二、极限
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处的极限定义为：
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
\lim\limits_{x \to x_0}f(x)
x→x0limf(x) 存在，记为
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
A
\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = A
x→x0limf(x)=A，可解释为：对任意给定的
ϵ
\epsilon
ϵ，存在
δ
\delta
δ，当
0
<
∣
x
−
x
0
∣
<
δ
0<|x-x_0|<\delta
0<∣x−x0∣<δ 时，就有
∣
f
(
x
)
−
A
∣
<
ϵ
|f(x)-A|<\epsilon
∣f(x)−A∣<ϵ. 这里需要注意的是
x
→
x
0
x \to x_0
x→x0 等价于
x
x
x 趋于
x
0
x_0
x0 但 取不到
x
0
x_0
x0 点，这也就是
∣
x
−
x
0
∣
>
0
|x-x_0| > 0
∣x−x0∣>0 而不是
∣
x
−
x
0
∣
⩾
0
|x-x_0| \geqslant 0
∣x−x0∣⩾0 的原因。
三、连续点
函数在一点处 连续 定义为：
设
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 的某邻域
U
(
x
0
)
U(x_0)
U(x0) 有定义，且
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)
x→x0limf(x)=f(x0)则称
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 处连续。
函数在一点处 左连续 定义为：
设
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 的左侧某邻域
x
0
−
δ
<
x
⩽
x
0
x_0-\delta<x\leqslant x_0
x0−δ<x⩽x0 有定义，且
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
\lim_{x \to x_0^-} f(x)=f(x_0)
x→x0−limf(x)=f(x0)则称
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 处左连续。
函数在一点处 右连续 定义为：
设
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 的右侧某邻域
x
0
⩽
x
<
x
0
+
δ
x_0\leqslant x<x_0+\delta
x0⩽x<x0+δ 有定义，且
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
\lim_{x \to x_0^+} f(x)=f(x_0)
x→x0+limf(x)=f(x0)则称
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 处右连续。
连续研究的是函数中的 点 一种性质。如上对三种连续的定义可以看出三种连续的特点为：
- 连续：
1). x 0 x_0 x0 点必须 有定义
2). x 0 x_0 x0 点 左附近 的点 必须 有定义
3). x 0 x_0 x0 点 右附近 的点 必须 有定义 - 左连续：
1). x 0 x_0 x0 点必须 有定义
2). x 0 x_0 x0 点 左附近 的点 必须 有定义 - 右连续：
1). x 0 x_0 x0 点必须 有定义
2). x 0 x_0 x0 点 右附近 的点 必须 有定义
基于这三种连续情况的定义，对于定义在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上的函数 f ( x ) f(x) f(x) 来说是只能研究 ( a , b ) (a,b) (a,b) 内部点的连续性的，因为 x = a x=a x=a 与 x = b x=b x=b 两点处 f ( x ) f(x) f(x) 没有定义，而点有定义是连续的前提。对于定义在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的函数 f ( x ) f(x) f(x) 来说可以研究 ( a , b ) (a,b) (a,b) 内部点的连续性，也可以研究 x = a x=a x=a 点的右连续性和 x = b x=b x=b 点的左连续性，对于 x = a x=a x=a 点其 自身 和其 右附近的点 有定义，对于 x = b x=b x=b 点其 自身 和其 左附近的点 有定义。
四、间断点
第一类间断点的判定标准为：
- f ( x ) f(x) f(x) 在 x = x 0 x=x_0 x=x0的某 去心邻域 内有 定义
- lim x → x 0 − f ( x ) \lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) x→x0−limf(x) 、 lim x → x 0 + f ( x ) \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) x→x0+limf(x) 都存在
第二类间断点的判定标准为：
- f ( x ) f(x) f(x) 在 x = x 0 x=x_0 x=x0的某 去心邻域 内有 定义
- lim x → x 0 − f ( x ) \lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) x→x0−limf(x) 、 lim x → x 0 + f ( x ) \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) x→x0+limf(x) 至少有一个不存在
间断研究的是某点 x 0 x_0 x0 附近点集 的一种状态，从两类间断点的判定标准就可以看出，判断是否间断的必要条件是 f ( x ) f(x) f(x) 在 x = x 0 x=x_0 x=x0的某 去心邻域 内有 定义 即 x = x 0 x=x_0 x=x0 左附近 ， x = x 0 x=x_0 x=x0 右附近 的点 两者都 有定义。对于定义在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 或者是定义在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 的函数 f ( x ) f(x) f(x) 来说，只能研究 ( a , b ) (a,b) (a,b) 内部点 的间断性，而对于 x = a {x=a} x=a 点 只满足 右附近的点有定义，所以 x = a {x=a} x=a 点没有间断性，对于 x = b {x=b} x=b 点 只满足 左附近的点有定义，所以 x = b {x=b} x=b 点也没有间断性。
五、可导点
可导的定义为：
设
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 的某 邻域
U
(
x
0
)
U(x_0)
U(x0) 内有定义，并设
x
0
+
Δ
x
∈
U
(
x
0
)
x_0+\Delta x \in U(x_0)
x0+Δx∈U(x0). 如果
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
0
+
Δ
x
)
−
f
(
x
0
)
Δ
x
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)存在，则称
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 处可导。
在定义式中，若记
x
=
x
0
+
Δ
x
x=x_0+\Delta x
x=x0+Δx，则该式可改写为：
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
=
f
′
(
x
0
)
\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)
x→x0limx−x0f(x)−f(x0)=f′(x0)
左导数的定义为：
设
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 的左侧某 邻域
x
0
−
δ
<
x
⩽
x
0
x_0-\delta<x\leqslant x_0
x0−δ<x⩽x0 有定义. 如果
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
x→x0−limx−x0f(x)−f(x0)存在，则称
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 处左导数存在。
右导数的定义为：
设
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 的右侧某 邻域
x
0
⩽
x
<
x
0
+
δ
x_0 \leqslant x < x_0+\delta
x0⩽x<x0+δ 有定义. 如果
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
x→x0+limx−x0f(x)−f(x0)存在，则称
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 处右导数存在。
可导研究的是函数中 点 的一种性质，类比 点 的连续性，点的可导性的特点如下：
- 可导
1). x 0 x_0 x0 点必须 有定义
2). x 0 x_0 x0 点 左附近 的点 必须 有定义
3). x 0 x_0 x0 点 右附近 的点 必须 有定义 - 左可导：
1). x 0 x_0 x0 点必须 有定义
2). x 0 x_0 x0 点 左附近 的点 必须 有定义 - 右可导：
1). x 0 x_0 x0 点必须 有定义
2). x 0 x_0 x0 点 右附近 的点 必须 有定义
基于这三种可导情况的定义，对于定义在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上的函数 f ( x ) f(x) f(x) 来说是只能研究 ( a , b ) (a,b) (a,b) 内部点的可导性的，因为 x = a x=a x=a 与 x = b x=b x=b 两点处 f ( x ) f(x) f(x) 没有定义，而点有定义是可导的前提。对于定义在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的函数 f ( x ) f(x) f(x) 来说可以研究 ( a , b ) (a,b) (a,b) 内部点的可导性，也可以研究 x = a x=a x=a 点的右可导性和 x = b x=b x=b 点的左可导性，对于 x = a x=a x=a 点其 自身 和其 右附近的点 有定义，对于 x = b x=b x=b 点其 自身 和其 左附近的点 有定义。
经典例题
设有命题
1). 若
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处可导，则
∣
f
(
x
)
∣
|f(x)|
∣f(x)∣ 在
x
0
x_0
x0 处可导
2). 若
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处连续，且
∣
f
(
x
)
∣
|f(x)|
∣f(x)∣ 在
x
0
x_0
x0 处可导，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处可导。
3). 若
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处的左、右导数都存在，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处连续。
4). 若
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处导函数的极限
lim
x
→
x
0
f
′
(
x
)
\lim\limits_{x \to x_0}f'(x)
x→x0limf′(x) 存在，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处连续。
上述命题中正确的个数为 ( 2 ) 个。
解析：
1). 错误。反证法：设
f
(
x
)
=
x
−
x
0
f(x)=x-x_0
f(x)=x−x0，易得
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处可导，而
∣
f
(
x
)
∣
=
∣
x
−
x
0
∣
|f(x)|=|x-x_0|
∣f(x)∣=∣x−x0∣ 在
x
0
x_0
x0 处不可导。
2). 正确。
① 若
f
(
x
0
)
>
0
f(x_0)>0
f(x0)>0，则在
x
0
x_0
x0 某邻域内，
∣
f
(
x
)
∣
=
f
(
x
)
|f(x)|=f(x)
∣f(x)∣=f(x)，从而
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处可导。
② 若
f
(
x
0
)
<
0
f(x_0)<0
f(x0)<0，则在
x
0
x_0
x0 某邻域内，
∣
f
(
x
)
∣
=
−
f
(
x
)
|f(x)|=-f(x)
∣f(x)∣=−f(x)，从而
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处可导。
③ 若
f
(
x
0
)
=
0
f(x_0)=0
f(x0)=0，则
lim
x
→
x
0
∣
f
(
x
)
∣
x
−
x
0
\lim\limits_{x \to x_0}{|f(x)| \over x-x_0}
x→x0limx−x0∣f(x)∣ 存在，而
lim
x
→
x
0
+
∣
f
(
x
)
∣
x
−
x
0
⩾
0
\lim\limits_{x \to x_0^+}{|f(x)| \over x-x_0} \geqslant 0
x→x0+limx−x0∣f(x)∣⩾0，
lim
x
→
x
0
−
∣
f
(
x
)
∣
x
−
x
0
⩽
0
\lim\limits_{x \to x_0^-}{|f(x)| \over x-x_0} \leqslant 0
x→x0−limx−x0∣f(x)∣⩽0，可得
lim
x
→
x
0
∣
f
(
x
)
∣
x
−
x
0
=
0
\lim\limits_{x \to x_0}{|f(x)| \over x-x_0}=0
x→x0limx−x0∣f(x)∣=0，因此
lim
x
→
x
0
∣
∣
f
(
x
)
∣
x
−
x
0
∣
=
lim
x
→
x
0
∣
f
(
x
)
x
−
x
0
∣
=
0
\lim\limits_{x \to x_0}|{|f(x)| \over x-x_0}|=\lim\limits_{x \to x_0}|{f(x) \over x-x_0}|=0
x→x0lim∣x−x0∣f(x)∣∣=x→x0lim∣x−x0f(x)∣=0，故
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
x
−
x
0
=
0
\lim\limits_{x \to x_0}{f(x) \over x-x_0}=0
x→x0limx−x0f(x)=0，
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处可导。（注：
lim
x
→
x
0
∣
f
(
x
)
∣
=
0
\lim\limits_{x \to x_0} |f(x)| = 0
x→x0lim∣f(x)∣=0 是
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
0
\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0
x→x0limf(x)=0 充分必要条件证明见附1）
3). 正确。由于
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处的左导数存在，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处左连续，即
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=f(x_0)
x→x0−limf(x)=f(x0)，由于
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处的右导数存在，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处右连续，即
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=f(x_0)
x→x0+limf(x)=f(x0)，从而
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
=
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=f(x_0)
x→x0−limf(x)=x→x0+limf(x)=f(x0)，因此
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处连续。
4). 错误。
lim
x
→
x
0
f
′
(
x
)
\lim\limits_{x \to x_0}f'(x)
x→x0limf′(x) 研究的是
x
x
x 趋于
x
0
x_0
x0 但不等于
x
0
x_0
x0 的
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x)的极限值，与
x
0
x_0
x0点自身无关，而
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处的连续性，与
x
0
x_0
x0点自身相关。反证法：
f
(
x
)
=
{
x
2
x =
/
0
1
x = 0
f(x) = \begin{cases} x^2 &\text{x {=}\llap{/\,} 0} \\ 1 &\text{x = 0 } \end{cases}
f(x)={x21x =/ 0x = 0 ，
f
′
(
x
)
=
2
x
f'(x)=2x
f′(x)=2x，
lim
x
→
0
f
′
(
x
)
\lim\limits_{x \to 0}f'(x)
x→0limf′(x) 存在，但
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在 0 处不连续。
总结
连续、可导研究的是点的一种性质，因此当研究某点 x 0 x_0 x0 左右连续性或者某点 x 0 x_0 x0 左右可导性时需要在这点 x 0 x_0 x0 处有定义。极限和间断研究的是趋向于某点 x 0 x_0 x0 的一种态势，是一种趋向性，与某点 x 0 x_0 x0 附近的点的状况有关而与这个点 x 0 x_0 x0 自身没有关系。
附录
附1
lim
x
→
x
0
∣
f
(
x
)
∣
=
0
\lim\limits_{x \to x_0} |f(x)| = 0
x→x0lim∣f(x)∣=0 是
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
0
\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0
x→x0limf(x)=0 充分必要条件的证明：
①
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
0
\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0
x→x0limf(x)=0 成立可解释为：对任意给定的
ϵ
\epsilon
ϵ，存在
δ
\delta
δ，当
0
<
∣
x
−
x
0
∣
<
δ
0<|x-x_0|<\delta
0<∣x−x0∣<δ 时，就有
∣
f
(
x
)
−
0
∣
<
ϵ
|f(x)-0|<\epsilon
∣f(x)−0∣<ϵ.
②
lim
x
→
x
0
∣
f
(
x
)
∣
=
0
\lim\limits_{x \to x_0} |f(x)| = 0
x→x0lim∣f(x)∣=0 成立可解释为：对任意给定的
ϵ
\epsilon
ϵ，存在
δ
\delta
δ，当
0
<
∣
x
−
x
0
∣
<
δ
0<|x-x_0|<\delta
0<∣x−x0∣<δ 时，就有
∣
∣
f
(
x
)
∣
−
∣
0
∣
∣
<
ϵ
||f(x)|-|0||<\epsilon
∣∣f(x)∣−∣0∣∣<ϵ.
可以看出
∣
f
(
x
)
−
0
∣
<
ϵ
|f(x)-0|<\epsilon
∣f(x)−0∣<ϵ 与
∣
∣
f
(
x
)
∣
−
∣
0
∣
∣
<
ϵ
||f(x)|-|0||<\epsilon
∣∣f(x)∣−∣0∣∣<ϵ 是等价的，因此
lim
x
→
x
0
∣
f
(
x
)
∣
=
0
\lim\limits_{x \to x_0} |f(x)| = 0
x→x0lim∣f(x)∣=0 是
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
0
\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0
x→x0limf(x)=0 充分必要条件。
附2
对命题：若
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处的左、右导数都存在，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处连续的一种误解进行解释。
误解：
f
(
x
)
=
{
x
+
1
x
⩾
0
x
−
1
x
<
0
f(x) = \begin{cases} x+1 &\text{} x \geqslant 0\\ x-1 &\text{} x < 0 \end{cases}
f(x)={x+1x−1x⩾0x<0 在
x
=
0
x=0
x=0 处的左导数为
f
(
0
−
)
=
1
f(0_-) = 1
f(0−)=1，在
x
=
0
x=0
x=0 处的右导数为
f
(
0
+
)
=
1
f(0_+) = 1
f(0+)=1，而
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
0
x=0
x=0 处不连续。
解释：
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
0
x=0
x=0 处只存在右导数，不存在左导数。因为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
0
x=0
x=0 有左导数的前提是 当
x
<
0
x<0
x<0 时，
f
(
x
)
=
x
−
1
f(x)=x-1
f(x)=x−1 在
x
=
0
x=0
x=0 处及其
x
=
0
x=0
x=0 的左附近有定义，而
x
<
0
x<0
x<0 时，
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
0
x=0
x=0 处并没有定义，因此
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
0
x=0
x=0 处不存在左导数。