给定长度为\(n\)的数列\(a_i\)，每次可以将相邻的数字加起来合并为一个（然后数字总数就会减\(1\)），求使序列非减的最少次数。

\(a_i\le 10^5， n\le 5000\)

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Solution

可以发现相当于将数列划分为若干区间，每个区间内部合并为一个数，大小为\(1\)的区间不合并。且要满足段内和不减。

划分区间！考虑dp。

设\(dp_{i,j}\)表示划分前\(i\)个数，上一次划分的右端点为\(j\)，使前\(i\)个数划分的段内和不减的最少操作次数。
则\(dp_{i,j}=min\{dp_{j,k}\}~~(\sum\limits_{x=k+1}^{j}a_x \le \sum\limits_{x=j+1}^{i}a_x)\)

复杂度\(O(n^3)\)，喜提TLE。

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仔细思考可以发现，将前\(i\)个数划分为非减段时，最后一段段内和越小越好。于是我们可以将二维的dp拆为两个一维的。

设\(f_i\)表示划分前\(i\)个数，使段内和不减的最小次数；\(g_i\)表示在\(f_i\)状态下，最后一段的最小段内和。

转移为\(f_i=min\{f_j\}~~(g_j\le \sum\limits_{x=j+1}^{i}a_x)\)，在\(f_i\)相同的时候同时最小化\(g_i\)。

时间复杂度\(O(n^2)\)，可以通过。

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显然\(f_i,g_i\)都是是单调不减的，每次转移的时候二分最后一个满足\(g_j\le \sum\limits_{x=j+1}^{i}a_x\)的位置\(j\)即可。

时间复杂度\(O(nlogn)\)。