如果癌症检测成阳性（准确率为90%）……怎么办

2021-12-04 10:30:06

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如果你去医院体检发现癌症检测为阳性,而检测准确率为90%(检测成阳性而且确实有癌症P( + | C) )，你真正得了癌症的概率是多少？
当然我还得给你两个数据比如
1、癌症患者占人口总数的比如1%（P(C) = 0.01）
2、检测的误诊率20%（没有癌症但是检测成阳性P( + | -C)）

这三个条件下你能算出你确实得癌症(检查为阳性)（P(C|+)）概率吗？

------答案在分割线下面--------

答案是4.3%，其实有很大概率你是没有癌症的，所以不必惊慌。

概率有多重要，记得当年在学习量子物理的时候，发现这是理解量子世界最重要的概念，没有之一。同时，现代金融，理财甚至赌博行业，都是概率理论在起着决定性作用。

概率思维是一个很重要的思维，特别是在机器学习领域，机器学习领域有一个用得非常广泛的方法叫做“朴素贝叶斯(Naive Bayes)”方法的核心就是概率理论。

那刚刚那个癌症的例子是怎么计算得到的呢？

概率理论有几个关键概念

1、独立事件和联合事件

比如抛硬币，每次拋都是独立事件，正反面的概率都是0.5。独立事件同时发生比如抛两次都是正面的概率是0.5x0.5 = 0.25. 同时发生这种情况是两个相互独立事件的联合事件。

2、关联事件

比如天气，假设只有天晴和下雨两种状态，第一天天晴的概率是， P1(晴)=0.5，第二天天晴的概率是在第一天的基础上的关联事件， P2(晴|晴)=0.8。第一天晴第二天还是晴的联合事件的概率是P1(晴)*P2(晴|晴)=0.4，那是不是说第二天天晴的概率就是0.4呢，当然不是，因为第一天还可能下雨，需要加上第一天下雨第二天也是晴天的概率。正确的算法是

因为第一天晴的概率是0.8 那么第一天下雨的概率是P1(雨) = 1-0.5 = 0.5, 这种情况下，如果第二天还是晴天的概率也要给出比如P2(晴|雨)=0.3，只有知道了 P1(晴)，P2(晴|晴) 和P2(晴|雨)这三个条件我们才能算出第二天甚至第三天第四天天晴下雨的概率。

所以第二天， P2(晴) = P1(晴)P2(晴|晴) + P1(雨)P2(晴|雨) = 0.50.8 + 0.50.3 = 0.45。

癌症的例子怎么算呢？因为癌症患者的比例和被检测出阳性是一个关联事件，所以需要计算出两个联合事件：
1、癌症患者同时又被检测出来成阳性的概率 P(C, +) = P(C) * P( + | C) = 0.009
2、癌症患者但同时检测出来成阴性的概率 P(C, -) = P(C) * P( - | C) =0.001

所以最后你是癌症患者同时又被检查出来的概率 P(C|+) = P(C, +) /(P(C, +) +P(C, -)) = 0.043