2021-07-05 线性代数大学期末复习笔记-备份

2023-11-22 07:54:27

代数发展历史上的两大问题：

前四章内容
左边是线性方程组的系数矩阵，右边叫增广矩阵，为了研究方程组。
X是一组解，也就是研究向量。

第五章内容
方阵*向量（不为0)==数*向量，几何应用为二次型。
一个是特征值，一个是特征向量。

一.行列式与矩阵

一.知识点

1.行列式的本质

所有不同行不同列元素乘积的代数和。

注意到左边三个式子，它们的p都是123，右边比如321，逆序数为3，所以为负。
p1p2是列下标，不是乘数。但不论正负，行都是123。

2.行列式的展开

余子式和代数余子式。

按行/列展开，每个数与它的Aij相乘

如果上式的代数余子式去和另一行的元素相乘，结果为0。（异乘得零定律）

列同理

3.矩阵的本质

用于展现系统信息的表格。

行列式和矩阵的不同：

都是类似表格，但行列式行数==列数，矩阵不一定，相等的叫方阵。
行列式两边是| | ，矩阵是（）
一个是数，一个是表。矩阵叫运算，行列式叫计算。

4.行列式的性质，矩阵的运算，矩阵的初等变换（防混淆）

（1）行列式五条性质：

转置值不变，互换行和列。
互换2个行/列，行列式加负号。–推论：两个行/列相等，显然互换也是一样，则行列式为0。
数乘以行列式，等于乘进某行/列。–推论：两个行/列成比例，则行列式为0。
加减法，等于某行/列的加减，只看这一行。满足交换律，如上图，两种分解方式。
某行/列加上另一行/列的K倍，值不变。

（2）矩阵的运算：

矩阵加减，每个位置都要拆开。
数字乘以矩阵，每个位置都要乘。
矩阵相乘，记住这个顺序和乘的方式。先第一行稳住，乘完右边所有列，然后再轮到第二行。不满足交换律，而且交换了也不一定能计算。

（3）矩阵的初等变换：

2个行/列互换
某行/列倍数变化
某行/列加上另一行/列的K倍

这三种，只能用箭头或者波浪线，因为它们本来就不是数，不存在相等，长得不一样！

建议只做行变换，不要行列混用！

5. A T \mathbf{A}^\mathrm{T} AT, |A|， A*, A − 1 \mathbf{A}^\mathrm{-1} A−1的运算法则和运算律

再次强调，。
注意表中是K^n|A|。梳理一下，用证明加深对公式的理解。后三类记号必须是方阵才行。
只有满足加法分配率，其余几个都不满足。

（1）转置：（它是针对矩阵来说的，而不是行列式！）（所以不要把T加在行列式|A|的外面！）

（2）行列式：

（3）伴随矩阵：（代数余子式构成的矩阵）

第一行各元素的代数余子式写到第一列
注意是-3和-2！因为是代数余子式，有正负号。
性质1的证明：E是单位矩阵，是一个矩阵，不是行列式哈，也不是1。
性质2的证明：E的行列式值为1，直接省略。用到|AB|=|A|·|B|

6.逆矩阵

（1）定义：

（2）两条定理：

- 证明：根据A*的性质1，左右**同时除以|A|**可以得到下面的式子，也就是逆矩阵的公式：
- 比定义少了一半的工作量，不再需要求AB=BA。

7.特殊的行列式与矩阵

（1）上/下（反）三角行列式：

（2）分块矩阵：

注意这里的A和B都是大矩阵，同时*处不全是0！不用管那里的值是多少！

（3）

这个只限主对角线，实在不行把m的范围包括-1，统一记忆。
注意，这内部的-1指的就是倒数！！

（4）

主对角线和性质3很像，不过这里是分块矩阵，而且是另两部分都是0的特殊情况！

注意！主对角线A和B位置没变，可是副对角线这边，A和B互换位置了！而且副对角线只支持-1！

先用性质（4），然后用性质（3）。

（5）自己补充：范德蒙行列式

形如，注意这里是从上往下的乘方，从0到n-1次方，一共n行。计算方法如下。

找到指数等于1这个第二行，它们大的减小的，乘起来便是行列式的值。

二.例题

1.普通计算

矩阵变换是可以直接变换的！那三个变换不用加系数等等，当然，那些矩阵也不相等。
但是这个是行列式，在r4变成4倍的时候，就要注意前面加1/4了！
主要思路，就是先用各种方法，让左上角先变成1，方便后面的变0的计算量不用很大。
在变0的时候，保证始终用行变换，先让第一列除了1都是0后，再搞第二列，这时候由于第一列是0，所以放心变换第二列。
一种优化：

2.爪型计算

这效率我去…我感觉比之前那20题的视频做的快。
很显著的类爪型行列式，先都依次向第一行累加（注意它加过去不代表它变成0了！我一定得注意这个）
然后提取第一行的乘数，再依次减掉第一行（即使题目变化，也可以搞分数），留出一个上三角行列式！

3.一些灵活的变换

题目：

我一开始以为用到了行列式的指数的分配性质，但没找到，不知道怎么做。
即使相减，我也没有注意到减完可以约掉一些东西。而且2a还可以继续减。

做法：

4. 行列式计算小总结

特殊的没找到办法，就按一般的做吧…

不过还是加减K倍的比较常见，哪怕一开始不容易找到规律，也可写写画画看一看。

5.有关逆矩阵的计算

看到A*，基本上都是用这个式子，转换为的计算。
这里要注意行列式当成绝对值。注意它是三阶，k^n，注意三次方！
A逆的行列式，就是A行列式的逆，也就是1/|A|。

6.逆矩阵问题

（1）求逆矩阵（具体问题套不了公式，计算量太大，这里用初等行变换）

初等行变换，添加一个E，直到左边变成E，右边就成了
注意右边的E也要跟着进行初等变换！

（2）解矩阵方程（分离法）

易错点：由于AB不等于BA，所以不能把A除到右边！这点很难发现！除非是两边除以B，那样可以。
1. 分离：分类的不是提取公因子，而是把带有B的分离出来。
2. 两边同时左乘逆，矩阵乘法，顺序很重要。
3. A与A逆的积是E，任何矩阵乘E都是它本身。
4. B被分离出来，右边做一个分配率，得出结果。
5. 最终通常会让求A的逆是多少。

（3）证明抽象方阵可逆：两个定理都能证，通常用定理二比较普遍。

预备知识：关键是会凑出一个积为E的式子。

题目：（不是证A与A+2E的积是E！看清是两个问题）

（1）证A可逆。

注意！！这里，在矩阵提取公因式后，"1"实际上是用E来表示，因为矩阵是不存在和数字去加减的！

（2）证A+2E可逆。

不好推的这种，考察待定系数法：
这种设法直接记住，把常数用b代替，移项到跟原式的样子差不多的式子。
然后依次对应，列出一个方程组求解。
求解完以后，转化成（A+2E）和一个数相乘为E，得出结果。

二.向量组与线性方程组（最精彩，最难）

一.知识点

1.向量组

向量的四则运算等等，以前学过，和数的差别不大。
相加等于 0 ⃗ \vec{0} 0 ，不是0。
注意为了简便，很多 α 1 ⃗ \vec{\alpha_1} α1 写成了 α 1 \alpha_1 α1！！
同维度的向量，维度指有几个坐标，比如 ( 1 , 9 ， 2 , 3 ) T \mathbf{(1,9，2,3)}^\mathrm{T} (1,9，2,3)T是四维向量。

基本上都是列向量，因为出题会节约版面，注意转置！

通常考法，把向量的转置符号竖过来，拼成一个矩阵。

称作A矩阵的列向量，注意这都是矩阵！转置是针对矩阵来说的，所以向量拼起来也是矩阵。

2.向量组的线性表示与线性相关

（1）向量由向量组线性表示：区分（4），这里没有要求不全为零。

个人理解：n维向量组，一个向量在n维空间，能由其他向量表示出来，就叫能够线性表示。

延伸：注意前面这里是单箭头！！！区分后面。

比方说 α 1 ⃗ \vec{\alpha_1} α1 = 0 ⃗ \vec{0} 0 的情况。或者 β \beta β和 α 1 \alpha_1 α1共线，三个向量共面，但 β \beta β不能被另外两个向量表示。

（2）向量组由向量组线性表示

也就是向量组的每个向量，都能被另一个向量组（不是说 α 1 ⃗ \vec{\alpha_1} α1 只能用 β 1 ⃗ \vec{\beta_1} β1 一个来表示）线性表示。

（3）向量组与向量组等价

也就是两个向量组能相互线性表示对方。

（4）向量组线性相关：要求不全为0，反正叫线性无关。

- 我的理解，就是向量0能被这个向量组线性表示，但是要求系数不全为0。（全是0讨论这个就没意义了)
- 一维向量也有线性相关，此时有
- 显然 a ⃗ = 0 ⃗ \vec{a} = \vec{0} a =0 才行，但也代表了一种可能。
- 都是设一个 X N ≠ 0 X_N \neq 0 XN=0 ，然后强行求出其他的系数。
- 注意这里变成了双箭头！！（根据逆否命题真值不变！显然它们同时取反是可以互推的）
- 区分一个向量和向量组共线的情况！这里三个 α \alpha α 线性相关，仅仅是共面。
- 因为它相当于把其中一个 α \alpha α移项，然后就变成了一个 α \alpha α由另外两个 α \alpha α表示的情况，转化成了一个向量和二维向量组线性相关。
两个推论：
- 0 ⃗ \vec{0} 0 的 x x x让它不为0，其余的 x x x都为0，即可。
- 这两个成比例向量显然有办法相加为 0 ⃗ \vec{0} 0 ，然后其余的 x x x取 0 0 0，即可。

α 1 ⃗ \vec{\alpha_1} α1 和 α 2 ⃗ \vec{\alpha_2} α2 无关，代表不共线。三个 α ⃗ \vec{\alpha} α 相关，代表共面，所以 α 3 ⃗ \vec{\alpha_3} α3 可以被另外两个线性表示。

- 实质是 2 o 2^o 2o ，因为两个向量相关，代表他们共线，所以成比例，所以向量组 A A A( α 1 ⃗ \vec{\alpha_1} α1 , α 2 ⃗ \vec{\alpha_2} α2 , α 3 ⃗ \vec{\alpha_3} α3 ) 线性相关。
理解：

同理，根据上面的理解，可以得知：
向量组的等价问题：

如图，如果红方 α 1 ⃗ \vec{\alpha_1} α1 和 α 2 ⃗ \vec{\alpha_2} α2 可以线性表示 β 1 ⃗ \vec{\beta_1} β1 和 β 2 ⃗ \vec{\beta_2} β2 ，说明向量组B被线性表示了。但是， β 1 ⃗ \vec{\beta_1} β1 和 β 2 ⃗ \vec{\beta_2} β2 共线的话，它们就不能反过来表示 α ⃗ \vec{\alpha} α ，这就是秩的由来。

3.向量组与向量的秩（必考！）

（1）***向量组***的秩与最大无关组

向量组A中，1. 所有 r + 1 r+1 r+1 个向量组成的部分组若存在，一定线性相关。

2. 由 r r r 个向量组成的部分组 A r A_r Ar 无关，则向量组A的秩是 r r r ， A r A_r Ar 为向量组A的最大线性无关组，简称最大无关组。

（此时A中任意向量都能用 A r A_r Ar 线性表示。）

个人理解：（挺难的）

r = 2，为什么呢，r+1=3，所有三个向量组成的都列在上面了，根据定义一定线性相关。

r=2，而所有两个向量组成的里面，有个无关的（其余的即使有关，也无所谓），因为已经满足了秩的定义了。

由于 A r A_r Ar 线性无关，所以它俩不共线，所以它俩根据性质，可以表示所有三个向量组成的组，能类推到所有向量都能让他们表示。

综上，能推出，r+1=3 上面那四个线性相关，与A中任意的向量能用 A r A_r Ar 表示，是充分必要条件！！

也就是第二种定义，**A中任意向量都能用 A r A_r Ar 线性表示。**那么秩的大小就是r。

老师理解：

秩，r，也就是rank，代表向量组的等级。假设这三个向量组，都是三维，秩分别是1,2,3。

记牢一个定义，A中任意向量都能用 A r A_r Ar 线性表示。

那么（I）中所有的都能被 α 1 ⃗ \vec{\alpha_1} α1 表示，显然全部共线。（虽然叫三维向量，但“空间”上是一维，r = 1）

那么（II）中所有的都能被 β 1 ⃗ \vec{\beta_1} β1 和 β 2 ⃗ \vec{\beta_2} β2 表示，显然全部共面。

那么（III）…显然全部共体。

**也就是说，最大无关组 A r A_r Ar ，确定了向量组的N维表示。**r=R(A),区分一下。

向量组的秩，为最大无关组中，向量的个数。

（2）向量组的线性相关性与行列式

惊呆！找几何意义。

如果把画圈的两个当成向量，那么行列式就有了几何意义，具体看下图。
- 注意，这个式子的我们就当a未知，我们有其他的目的，就用两个向量的模来表示。
- 首先是行列式计算，然后用两个向量的模和夹角表示它，最终发现！这是一个平行四边形面积。
- 如果是两个三维向量，那它就是一个体积！

上图便是考察对面积实质的理解，相关代表共线，没有夹角，平行四边形就没有面积。考试考的就是上面两个式子。
假如A是10阶矩阵，那么就代表它的10个列向量构成的组线性相关。

（3）矩阵的秩与最高阶非零子式（其实看它的定义还不如看它名字去体会）

矩阵A中，1. 所有r + 1阶子式若存在，全为零

2.有r阶子式 D r D_r Dr 不为零

这两个条件，可以推出R(A) = r, D r D_r Dr 为A的最高阶非零子式。参考秩，类比着看。

串起来了，串起来了，用到了行列式值为0的那个几何性质。

根本上，和秩的形式的一样的，所以：

由于行列式转置值不变，所以对于行向量，这个意义也是一样的。

1.矩阵的秩为其最高阶非零子式的阶数，等于其列（行)向量组的秩。

2.矩阵的秩==该矩阵经初等行变换所得的行阶梯形矩阵的非零行的行数。

注：（1）行阶梯形：1. 阶梯线下方元素全为0

2.每级阶梯仅占一行，但可占不只一列。

（看图，可以发现，阶梯上面不能全为0）

（2）行最简形：1. 首先是行阶梯形

2.每级阶梯第1个元素为1

3.该元素所在列的其他元素全为0

不代表每个阶梯块长只有1，这个不限制。

（矩阵的初等变换不需要变号什么的，回去重新看一下那三种！）

4.向量组的线性表示，线性相关性与秩之间的关系。

下面这两个方面6条等价，根本上就是考察一个概念。
线性相关代表共线/面/体…，秩代表维度。被线性表示，也代表一种共线/面/体。
三个向量线性相关，显然必须共面；两个向量线性相关，显然必须共线。
如果两个向量线性无关，反而说明它们不共线而是共面，因此它们可以确切表示共面的第三个向量，代表了三个向量的线性相关。
反正就是画图，深入理解线性相关，线性表示，秩，就可以自己推出这些公式、

不能线性表示，它的秩一定是比且只比向量组的秩高1，所以+1.（如果这三个 α \alpha α共线，秩会不会高2）

下图继续理解，线性表示是否唯一，看的是向量组它自己是否线性相关。显然。

（不唯一，实际上是无穷个，还是画画图比较好理解）

这个式子适合背过。

如果A能被B线性表示，那么联合矩阵（A,B）的秩（向量直接按列拼在一起就是联合），就等于A的秩**，这就是上式的推论**。

5.线性方程组与向量组之间的关系

一.线性表示（非齐次线性方程组）（右边不为0）

返璞归真，回归开头。

这里就相当于向量相等，要求x,y,z…对应相等!

注意正因为 x x x是要求解的，而提供系数的向量是已知的。所以在线性表示式中，未知的 x x x反而是充当的是系数

（注意这里就是逆用矩阵相乘）

我感觉到了，下面的几个公式必考！
- mxn,列数就是向量数，所以R(A) = n。
- m=n时，然后
个人参悟：记住一个情形，3个向量共面，线性无关，如果说2个向量组成的平行四边形能唯一确定另一个共面的向量，那3个向量可以确定无穷个第4个共面向量。3个向量，维度是3，秩却是2，因为是二维平面，所以R(A)<n。而且第4个向量也在这个面，那显然它并不能升维，所以加上它，秩R(A,B)仍然是2. 由于3维向量，对应的行列式几何意义是体积，而它们四个共面，体积是0，所以行列式的值是0。至于A不可逆是|A|的充分必要条件，这是第一章的内容。当然，就像刚才说的平行四边形唯一确定，在3维空间里，如果三个向量线性无关，那显然它们秩是3，也可以唯一确定一个秩为3的第四个向量，也就是第四个向量唯一。此时它们的R(A)=n了，加上B，秩仍然是3，毕竟3维的向量表示不出4维的向量，毕竟坐标系都是沿着3维来走的，没办法。同理，如果这三个向量怎么都表示不出第四个向量，显然第四个向量要么是4维空间，要么这三个向量的维度小于3。题意里说第四个向量是m维，这里就是3维，那么显然意味着前三个向量在1维或2维，秩小于3，要想升维，只能是第四个向量B加入进来。也就是R(A,B)=R(A)+1。至于这里1，应该是暗示它必须是2维不能是1维，我觉得这里不太严谨。再就是线性相关和无关的情况。线性无关，说明两个表示不出来第3个，说明第3个在三维，体积不为0，所以|A|不等于0。反之也是，看到|A|不为0，所以线性无关，这种时候也不是没有解，但只有一个零解。但也要因此深刻理解一件事，线性相关或者无关，都不存在无解的情况。但是线性表示是存在无解的情况的，因为即使全部取0，可还有常数项没办法解决，所以存在无解。

这里注意一个地方，这里的是单箭头！

二.线性相关（齐次线性方程组）（右边全为0）

几个公式熟记于心：

（m=n是方阵，才会有行列式一说）（线性相关，面积为0，行列式|A|=0）

有非零解，只有零解。

二.例题

1.必考必考：求向量组的最大无关组，并表示。

（1）把向量列出来，然后初等变换。

（2）造零，这里依旧是从左往右依次造零，其实和构造上三角行列式有点像。

注意这个初等变换箭头，上面r的写法。

（3）数一下几阶，这里是r=3，每个阶梯第一个数，就是组成最大无关组的向量。

类比：

这个矩阵的秩为2，其最大线性无关组为 α 1 ⃗ \vec{\alpha_1} α1 , α 3 ⃗ \vec{\alpha_3} α3 。

（4）求行最简形，这是为了加快用最大线性无关组表示其他向量的进程：

学一学化简办法，同列其他元素都需要是0才行。
矩阵的初等行变换不改变它的列向量间的线性相关性和线性表示的系数。

可以发现，化简成这样以后，其他向量怎么去表示它，一目了然。（用 α 1 ⃗ \vec{\alpha_1} α1 α 2 ⃗ \vec{\alpha_2} α2 α 3 ⃗ \vec{\alpha_3} α3 来表示 α 4 ⃗ \vec{\alpha_4} α4 和 α 5 ⃗ \vec{\alpha_5} α5 ）

2.如果让求的是最高阶非零子式

(1)步骤

不用化简到行最简形，化到阶梯矩阵，立马看一下是哪几列向量。比如上图的1,2,3.
回到最初的矩阵，在里面找行列式。由于列是1,2,3，行列式要求矩阵是方阵，所以必须行也是3。
这样上图会出现4个三阶行列式，然后找不为0的行列式。
填上找到的行列式。**不是矩阵，更不是算出来的数！**别把验证不为时算的数不小心填上去！

(2)注意点：上面的加粗步骤。

但是，这个答案“不唯一,只要找到的行列式不为0即可"。

3.含参数线性方程组的综合题

解出来就完了，反正要会用那些公式就行。

4.思考什么是线性相关，这道题和上一道题一样

如果维数不等于向量个数，那就用秩来做，因为没法直接列行列式计算。

5.解齐次线性方程组

解方程组，需要化成行最简形！

如果只是判断解的情况，只需要化到阶梯矩阵就行了，判断秩的情况，注意这里的是4不是3，记住了就行了。

正式计算（这里第二行的1和0，可以看出阶梯是不管里面是不是0的）

根据阶梯，1,3用2,4表示。上面叫独立方程。

上面这个叫通解。两个独立方程在上上面，两个*变量2,4。（他们任意取值，所以无数个解）
这一步就是字面意思，这里的x依然代表向量，比方说， x 2 x_2 x2= x 2 x_2 x2*1+ x 4 x_4 x4*0，也就是 k 1 k_1 k1*1+ k 2 k_2 k2*0，注意哈，这里 k 1 k_1 k1就是 x 2 x_2 x2，因为剩下两个变量也能用它们表示（式子已求出），它们自己表示自己更是方便，所以有了上式，只是竖着写怪怪的。

上面叫基础解系。

注：1. 齐次线性方程组基础解系中向量的个数为n-r(A).

n为未知数个数

2. 齐次线性方程组基础解系或通解一定不唯一，有无穷多种。

非齐次可能唯一可能不唯一。

这个*变量完全可以移项换过来，所以这只是手段。

发现了没，这俩通解不一样。

而且对于1001,2002,3003,4004…无数种都可以，所以叫解系。

下面3个式子同时满足才行，也是用来检查自己结果对不对。

6.解非齐次线性方程组

（1）列出增广矩阵，初等变换化成行最简形。

如果这里在问解的情况，到这里直接列出秩，来判断。
如果要求解，要继续往下化。

前面步骤都一样，区别在通解，但是思路上是一样的。

（如果把通解里的常数项删掉，就变成了对应齐次线性方程组的通解）

非齐次线性方程组没有基础解系这种说法，但非齐次解也是无穷多。

检查方法：

前面红框内的部分，完全按照齐次线性方程组的办法来查，后面的常数项，代入到方程组里面去查。

7.要转化为线性方程组的问题

注意这个题目求证里漏掉一个 α 4 ⃗ \vec{\alpha_4} α4 。

等价：

证明上图有解，并求解。

注意这里不是要求出基础解系，而是要把解系代入到通解，求出 β \beta β 的表达式。

注意常数项不是以常数形式加在通解后面，而是融进了系数。

8.含有未知数，讨论线性方程组解的情况

对比例题10，用行列式解这个不合适。

行列式等于0，对应无穷多解和无解，但其他情况不清楚。不如直接用秩。

非齐次适合用秩，齐次且方程个数等于未知数个数（即向量个数等于向量维数）才用行列式。（显然）

解法：先增广矩阵，变成阶梯型（第一步显然是让左上角变成1）

问题的核心：

不要先去算，看一下下面的讨论，会影响秩的值。

所以叫，讨论解的情况。

特别麻烦，起码在化简矩阵的时候，计算量比较大的。

考察对必考概念的理解。

9.线性无关这种抽象题证明

方法一：定义法

线性无关，说明两个表示不出来第三个，说明第三个在三维，体积不为0，所以|A|不等于0。反之也是，看到|A|不为0，所以线性无关，这种时候也不是没有解，但只有一个零解。
方法二：用秩（没太明白）

向量组线性无关的充分必要条件是这个向量组的秩等于向量个数。

说明PAQ和A等价。