1. 轨道方程
轨道方程可由积分常数拉普拉斯积分推导和定义：
L
⃗
=
v
⃗
×
h
⃗
−
μ
r
r
⃗
\vec{L}=\vec{v} \times \vec{h}-\frac{\mu}{r} \vec{r}
L
=v
×h
−rμr
在右侧点乘
r
\mathbf{r}
r，已知二者都位于轨道面内，设夹角为
θ
\theta
θ。
L
⃗
⋅
r
⃗
=
(
v
⃗
×
h
⃗
)
r
⃗
−
μ
r
r
⃗
⋅
r
⃗
L
r
cos
θ
=
−
(
h
⃗
×
v
⃗
)
r
⃗
−
μ
r
r
2
=
−
h
⃗
⋅
(
v
⃗
×
r
⃗
)
−
μ
r
=
h
2
−
μ
r
\begin{aligned} \vec{L} \cdot \vec{r} &=(\vec{v} \times \vec{h}) \vec{r}-\frac{\mu}{r} \vec{r} \cdot \vec{r} \\ L r \cos \theta &=-(\vec{h} \times \vec{v}) \vec{r}-\frac{\mu}{r} r^{2} \\ &=-\vec{h} \cdot(\vec{v} \times \vec{r})-\mu r \\ &=h^{2}-\mu r \end{aligned}
L
⋅r
Lrcosθ=(v
×h
)r
−rμr
⋅r
=−(h
×v
)r
−rμr2=−h
⋅(v
×r
)−μr=h2−μr
整理可得矢径
r
\mathbf{r}
r的大小
r
r
r与真近点角
θ
\theta
θ的关系
r
=
h
2
μ
+
L
cos
θ
=
h
2
μ
1
+
L
μ
cos
θ
r=\frac{h^{2}}{\mu+L \cos \theta}=\frac{\frac{h^{2}}{\mu}}{1+\frac{L}{\mu} \cos \theta}
r=μ+Lcosθh2=1+μLcosθμh2
已知圆锥曲线方程为
r
=
p
1
+
e
cos
θ
r=\frac{p}{1+e \cos \theta}
r=1+ecosθp
则可定义极径 p = h 2 μ p=\frac{h^{2}}{\mu} p=μh2，偏心率 e = L μ e=\frac{L}{\mu} e=μL且 e 2 = ( L ⃗ μ ) 2 = μ 2 + 2 E h 2 μ 2 = 1 + 2 E h 2 μ 2 e^{2}=\left(\frac{\vec{L}}{\mu}\right)^{2}=\frac{\mu^{2}+2 E h^{2}}{\mu^{2}}=1+\frac{2 E h^{2}}{\mu^{2}} e2=(μL )2=μ2μ2+2Eh2=1+μ22Eh2。此时可以给定2个[[积分常数]]（角动量和拉普拉斯常量）的几何表示。
2. 特殊几何参数
近地点p和远地点a处速度和位置矢量垂直，二者方向和大小为：
{
θ
=
0
,
r
p
=
P
1
+
e
,
v
p
=
h
r
p
=
μ
p
(
1
+
e
)
θ
=
π
,
r
a
=
p
1
−
e
,
v
a
=
h
r
a
=
μ
p
(
1
−
e
)
\left\{\begin{array}{l} \theta=0, r_{p}=\frac{P}{1+e}, \quad v_{p}=\frac{h}{r_{p}}=\sqrt{\frac{\mu}{p}}(1+e) \\ \theta=\pi, r_{a}=\frac{p}{1-e}, \quad v_{a}=\frac{h}{r_{a}}=\sqrt{\frac{\mu}{p}}(1-e) \end{array}\right.
⎩⎨⎧θ=0,rp=1+eP,vp=rph=pμ
(1+e)θ=π,ra=1−ep,va=rah=pμ
(1−e)
其中，近地点p处
θ
\theta
θ为0，为拉普拉斯常量相同方向。
进一步可以推导出，a为半长轴，p为极径，其关系如下
a
=
r
a
+
r
p
2
=
p
2
(
1
−
e
+
1
+
e
1
−
e
2
)
=
P
1
−
e
2
a=\frac{r_{a}+r_{p}}{2}=\frac{p}{2}\left(\frac{1-e+1+e}{1-e^{2}}\right)=\frac{P}{1-e^{2}}
a=2ra+rp=2p(1−e21−e+1+e)=1−e2P
将特殊点的位置大小和速度大小带入积分常数的能量积分可以得到其几何表示。
3. 圆与椭圆
当某一个圆半径与一个椭圆半长轴相等时，其相同x对应的y有如下关系
y
e
=
b
a
y
c
y e=\frac{b}{a} y_{c}
ye=abyc
{
x
2
a
2
+
y
2
2
a
2
=
1
,
y
c
=
a
2
−
x
2
x
2
a
2
+
y
p
2
b
2
=
1
,
y
p
=
b
a
a
2
−
x
2
\begin{cases}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{2}^{2}}{a^{2}}=1, & y_{c}=\sqrt{a^{2}-x^{2}} \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{p}^{2}}{b^{2}}=1, & y_{p}=\frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}\end{cases}
{a2x2+a2y22=1,a2x2+b2yp2=1,yc=a2−x2
yp=aba2−x2