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摘要

在这项工作中，我通过创建一个包含四只基金的模型来探索 copula，这些基金跟踪股票、债券、美元和商品的市场指数。然后，我使用该模型生成模拟值，并使用实际收益和模拟收益来测试模型投资组合的性能，以计算风险价值(VaR)与期望损失(ES)。

一、介绍与概述

Copulas 对多元分布中变量之间的相关性进行建模。它们允许将多变量依赖关系与单变量边缘分布相结合，允许我们对构成多变量数据的每个变量使用许多单变量模型。Copulas 在 2000 年代开始流行。根据 Salmon (2009) 的说法，Li (2000) 最近提出的Copulas应用之一是 2008 年开始的金融危机。我们将使用 copulas 来模拟四个 ETF 基金的行为：IVV，跟踪标准普尔 500 指数；TLT，跟踪长期国债；UUP，追踪外汇指数；以及商品的 DBC

二、理论背景

copula 是一个多变量 CDF，其边缘分布都是 Uniform (0,1)。假设 Y 有 d 维，并且有一个多元  和边缘 。很容易证明，每个 都是 Uniform(0,1)。因此， 的 CDF 根据定义是一个 copula。使用 Sklar (1973) 的定理，然后我们可以将我们的随机变量 Y 分解为一个 copula CY ，它包含关于我们的变量 Y 之间相互依赖的信息，以及单变量边缘 CDFs FY ，它包含关于每个变量的所有信息单变量边缘分布。对于 d 维，我们有：

并使每个，我们有：

如果我们对等式（2）进行微分，我们会发现 Y 的密度为：

方程 (3) 中的结果允许我们创建多变量模型，这些模型考虑了变量的相互依赖性（方程的第一部分）和每个变量的分布（方程的第二部分）。我们可以使用 copula 和边缘部分的参数版本来创建可用于运行测试和执行预测的模型。在接下来的几节中，我们将使用用于统计计算的 R 语言将高斯和 t-copula 拟合到介绍中描述的 ETF 的对数收益率。有了 copula 和边缘，我们将使用模型来确定投资的风险价值 (VaR) 和预期损失 (ES)。

三、算法实现与开发

像往常一样，我们从读取文件开始。图 1 显示了价格图：注意 IVV 和 DBC（股票和商品）之间的关系以及 TLT 和 UUP（元和国债）之间的关系。

1.    
2.   # 将 ETF 读入
3.    
4.   read.zoo("F.csv")
5.   # 获取最近501天
6.    
7.   tf[(T-500):T,]
8.   # 绘制价格
9.    
10.   pdf("价格.pdf")

在这种情况下，我们计算对数收益率。图 2 显示了收益图。

1.   # 计算对数收益
2.   le <- lag(e，-1
3.   log(ef) - log(lef) ) * 100

 

然后我们做一个配对图来确定结果是否相关，例如，正如期望的那样，IVV 和 DBC 之间存在非常高的相关性。图 3 显示了配对图。然后我们获得边距的参数，拟合每个变量的分布。结果见表一

1.    
2.   # 拟合分布
3.   fitdr
4.   ## 得到结果矩阵
5.   # 将 AIC 函数应用于第一项（值）
6.   # params 列表的第四项 (loglik)
7.   AIC(saply (saply(prms, 4))
8.    
9.   # params 列表的第一项（估计）
10.   sapply (sapply(pams,3))
11.    

 图 4 显示了拟合分布与来自变量的真实数据进行比较的图。现在我们有了边缘分布，我们需要找到模型的 copula。我们首先使用概率变换并获得  中的每一个，我们知道它们是 Uniform(0,1)。这是通过以下代码完成的：

1.   # 现在我们需要均匀分布
2.   IV <- pct(IVV, a)
3.   rt <- cbind(uV uL, UP, DC)

图 5 显示了均匀分布之间的相关性。通过均匀分布，我们可以看到哪种类型的参数 copula 最适合。我们将拟合高斯 copula 和 t-copula，记录它们的 AIC 并查看哪一个提供了最佳拟合。

图 5：均匀分布之间的相关性

1.    
2.   # 拟合高斯 copula
3.    
4.   fit.gaussian <- fitCopula (ncp))
5.   # 记录拟合的AIC
6.   fit.aic = AIC(filik,
7.    
8.   ############################################### ############
9.   # 现在是 t-copula
10.    
11.   fitCopula (tcop, url00))
12.   # 记录拟合的AIC
13.    
14.    

1.   AIC(fiik
2.   length(fite)

 比较两种拟合，如表 II 所示，我们发现 t-copula 拟合最好，因此我们将根据 t-copula 的参数创建一个模型。然后，我们使用该模型生成 10,000 个观察结果，模拟我们模型的可能结果。我们的模拟模型与拟合模型之间的图形比较可以在图 6 中看到 - 模拟非常接近拟合模型。

1.   tCopula(parun")
2.   cop.dist <- mvdc(copt,
3.   parast1)
4.   rmvdc(co00)

现在我们有了模拟的观察结果，我们将使用参数方法计算风险价值 (VaR) 和预期损失 (ES)。我们将假设一个投资组合（任意选择）在 IVV 中投资 30%，在 TLT 中投资 15%，在 UUP 中投资 35%，在 DBC 中投资 20%。为了计算投资组合 w 的收益率 Rp，我们简单地使用矩阵代数将我们的模拟收益率 Rs 乘以权重，如 Rp = Rs × w。然后我们将 t 分布拟合到 Rp 并使用它来估计 VaR 和 ES。对于 t 分布，VaR 和 ES 的公式为：

其中：

• S：仓位大小

• F -1 ν：逆 CDF 函数

• fν：密度函数 • µ：平均值

• λ：形状/尺度参数

• ν：*度

• α：置信水平

R中公式的应用实现如下。请注意，在代码中，VaR 和 ES 被四舍五入到最接近的千位。结果在表III中。

1.    
2.   # 计算模拟值的 VaR 和 ES
3.    
4.    
5.   fitdistr(re, "t")
6.   es <- -m+lada*es1*es2
7.    

我们的最终任务是计算非参数 ES 和 VaR，由以下公式给出：

其中：

• S：仓位大小

• qˆ(α)：样本收益率的分位数

• Ri：第 i 个样本收益率

R 实现如下：

1.    
2.   # 计算真实值的 VaR 和 ES
3.   ret <- (rf %*% w) / 100
4.    
5.   ES <- -S * sum(ret * ir) / sum (iar)
6.    

结果示于表III中。

四、计算结果

表 I 显示了 ETF 边缘 t 分布的估计参数和 AIC 的结果：

表 I 边缘分布

两个 copula 拟合的 AIC 都在表 II 中。

表 II Copula AIC

VaR 和 ES 在表 III 中。

表三 VaR 和 ES

五、总结与结论

这项工作展示了如何估计边缘和 copula，以及如何应用 copula 来创建一个模型，该模型将考虑变量之间的相互依赖性。它还展示了如何计算风险价值 (VaR) 和期望损失 (ES)。

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