矩形数目

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在一个n*m的矩形中，请问有多少个矩形、长方形、正方形？

答：首先应该知道矩形=正方形+长方形，然后我们首先分析如何求解正方形的数量

• 正方形求解

思想 ：我们固定(i , j)点，以(i, j)点为右顶点，那么左顶点则应该从(i-1,j-1)点开始向左上角靠近，每次向左移动一格，左顶点在x ，y轴的投影-1，一直到某个方向的投影为0截止，因此一共min(i ,j)个正方形。

• 矩形求解

思想 ：同样我们以(i,j)为矩形的右端点，左端点则从(i-1,j-1)开始向左扩张，横向长度为j，竖向长度为i,所以一共有i*j个矩形

• 长方形求解

利用上面的公式即可得到

因此我们只需要遍历整个棋盘即可求出数量，时间复杂度为O(n*m)

题目链接

• 代码如下

// Problem: P2241 统计方形（数据加强版）
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2241
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	
	unsigned long long s1=0,s2=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			{
				s1+=min(i,j);
				s2+=i*j;
			}
	cout<<s1<<" "<<s2-s1<<endl;
    return 0;
}