279. 完全平方数

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入：n = 12
输出：3 
解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9

提示：

• 1 <= n <= 104

题解：

四平方定理： 任何一个正整数都可以表示成不超过四个整数的平方之和。 推论：满足四数平方和定理的数n（四个整数的情况），必定满足 n=4^a(8b+7)

情况 1：与四平方定理不同，Adrien-Marie-Legendre 的三平方定理给了我们一个充分必要的条件来检验这个数是否只能分解成 4 个平方，即必定满足 n=4^a(8b+7)。

情况 2：如果数字本身是一个完全平方数，这很容易检查，例如 n == int(sqrt(n)) ^ 2。

情况 3：如果这个数可以分解成两个完全平方数和。不幸的是，没有任何数学定理可以帮助我们检查这个情况。我们需要使用枚举方法。

算法：

可以按照上面的例子来实现解决方案。

class Solution {
//判断是否完全平方数
 protected boolean isSquare(int n) {
  int sq = (int) Math.sqrt(n);
  return n == sq * sq;
 }

 public int numSquares(int n) {
  //情况一 满足 n=4^a(8b+7)
  while (n % 4 == 0)
   n /= 4;
  if (n % 8 == 7)
   return 4;
   //情况二 自己是一个完全平方数
  if (this.isSquare(n))
   return 1;  
   //情况三 可以分解成两个完全平方数和  采用枚举
  for (int i = 1; i * i <= n; ++i) {
   if (this.isSquare(n - i * i))
   return 2;
  }
   //其他
  return 3;
 }
}