设有a1+a2+—+aK=N，a1,a2,—,aK为正整数(K>=2),将a[1],a[2],—,a[K]K个数排列至1,2,—N这N个排列位置上，使得a[1],a[2],—,a[K]所占据的排列位置数恰好分别为a1,a2,—,aK，这样占据1,2,—NN个排列位置的a[1],a[2],—,a[K]构成的排列为一个排列位置数为N，排列数数目为K的多重全排列。
现在介绍算法，该算法能够生成符合上述要求的所有多重全排列
说明：以下二种算法仅适用于k>=2的情形,k=1为特殊情形我没有专门处理，不处理问题也不大
算法一(K=3,N=5,a1=2,a2=1,a3=2,a[i]=i)：思路简单代码易于理解，代码简单。基本思路为在栈中回溯和向前试探，向前试探寻找满足容量上限的下一个候选数，从而扩大候选解的规模，候选解规模达到N即得到一个多重全排列。无法发现符合容量上限的下一个候选数即回溯
C++代码：
#include "stdafx.h"
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;
const int K = 3;
const int N = 5;
int search(int start, const vector<int> &num, const vector<int> &count) //从start开始顺序查找满足容量限制的第一个数字，查找失败返回0，否则返回找到的数字
{
for (; start <= K; ++start)
{
if (num[start - 1] + 1 <= count[start - 1])
return start;
}
return 0;
}
int main()
{
vector<int> count{ 2, 1, 2 }; //a1,---,ak值
vector<int> num(count.size(), 0); //统计循环过程中1,---,k的数目
vector<int> arrange(N, 0); //存放找到的多重全排列的栈结构
int i = 1; //栈顶指针
int number = 0;
bool TF = true; //回溯标志
while (true)
{
if (i == 1)
{
if (TF == true)
{
arrange[i - 1] = 1;
++num[0];
++i;
}
else
{
--num[arrange[i - 1] - 1];
++arrange[i - 1];
if (arrange[i-1] > K)
{
break;
}
else
{
++num[arrange[i - 1] - 1];
++i;
TF = true;
}
}
}
else
{
if (TF == true)
{
arrange[i - 1] = search(1, num, count);
++num[arrange[i - 1] - 1];
}
else
{
int temp;
if ((temp = search(arrange[i - 1] + 1, num, count)) == 0)
{
--num[arrange[i - 1] - 1];
--i;
continue;
}
else
{
--num[arrange[i - 1] - 1];
arrange[i - 1] = temp;
++num[arrange[i - 1] - 1];
}
}
if (i == N) //找到一个多重全排列输出
{
++number;
cout << "第" << number << "个多重全排列:";
for (const int &m : arrange)
{
cout << m;
}
cout << endl;
cout << endl;
TF = false;
}
else
{
++i;
TF = true;
}
}
}
return 0;
}运行结果:
算法二(K=3,N=5,a1=2,a2=1,a3=2,a[i]=i)：代码相对而言更复杂，方法较笨，就是单纯地模拟手工寻找多重全排列的过程，该过程中按a[1],—,a[k]的顺序逐一选择子排列，成功找到子排列则向前试探扩大候选解的规模寻找下一个，当a[1],—,a[k]的所有子排列全部找到后即获得一个多重全排列，当已无新的子排列可供选择时即回溯
C++代码：
#include "stdafx.h"
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;
bool find(bool TF, int n, int k, vector<int> &temp) //TF==true，函数从头寻找满足1<=a1<--<ak<=n的第一个排列a1,a2,--,ak存放在temp中
{ //TF==false,函数寻找上一次找到的存放在temp中满足1<=a1<--<ak<=n的排列a1,a2,--,ak的下一个排列，找到存放在temp中返回true,找不到返回false
int i;
if (TF == true)
{
i = 0;
}
else
{
i = k - 1;
}
while (1)
{
if (i == 0)
{
if (TF == true)
{
temp[i] = 1;
}
else
{
temp[i]++;
}
if (temp[i] > n - k + 1)
return false;
if (k == 1)
return true;
i++;
TF = true;
}
else
{
if (TF == true)
temp[i] = temp[i - 1] + 1;
else
{
temp[i]++;
if ((temp[i] - temp[i - 1])>(n - temp[i - 1]) - (k - i) + 1)
{
i--;
TF = false;
continue;
}
}
if (i == k - 1)
{
return true;
}
i++;
TF = true;
}
}
}
const int K = 3;
const int N = 5;
struct back
{
vector<int> sub; //存放find函数找到的多重全排列中的一个子排列的排列位置
vector<int> father; //存放多重全排列所有N个排列位置被与其对应的sub子排列之前的所有排列占据后剩下的排列位置
back(int k) :sub(k, 0) {}
};
void diffset(vector<back> &stack, const vector<int> &count) //计算father和sub的差集，得到sub的下一排列可取得排列位置
{
int i = 0;
int j = 0;
back temp(count[stack.size()]);
while (i < stack.back().father.size() && j < stack.back().sub.size())
{
if (i + 1 < stack.back().sub[j])
{
temp.father.push_back(stack.back().father[i]);
++i;
}
else if (i + 1 > stack.back().sub[j])
{
++j;
}
else
{
++i;
++j;
}
}
while (i < stack.back().father.size())
{
temp.father.push_back(stack.back().father[i]);
++i;
}
stack.push_back(temp);
}
int main()
{
vector<int> count{2, 1, 2}; //a1,---,ak值
int i = 1; //循环当前正在处理的子排列序号
int num = 0; //多重全排列计数
bool TF = true; //回溯标志,true前进至本层,false回溯至本层
vector<back> stack;
while (true)
{
if (i == 1)
{
if (TF == true)
{
stack.push_back(back(count[0]));
find(true, N, count[i - 1], stack.back().sub);
for (int j = 1; j <= N; j++)
stack.back().father.push_back(j);
++i;
}
else
{
if (find(false, N, count[i-1], stack.back().sub) == true)
{
++i;
TF = true;
}
else
{
break;
}
}
}
else
{
if (TF == true)
{
diffset(stack, count);
find(true, stack.back().father.size(), count[i - 1], stack.back().sub);
}
else
{
if (find(false, stack.back().father.size(), count[i - 1], stack.back().sub) == false)
{
stack.pop_back();
--i;
continue;
}
}
if (i == K) //找到一个多重全排列，输出
{
++num;
vector<int> temp(N, 0);
for (vector<back>::size_type i = 0; i < stack.size(); ++i)
{
for (vector<int>::size_type j = 0; j < stack[i].sub.size(); ++j)
{
temp[stack[i].father[stack[i].sub[j] - 1] - 1] = i + 1;
}
}
cout << "第" << num << "个多重排列:";
for (const int &m : temp)
{
cout << m;
}
cout << endl;
cout << endl;
TF = false;
}
else
{
++i;
TF = true;
}
}
}
return 0;
}运行结果：