文章目录

• 题目：221. 最大正方形
• 解题思路
• • 一、二维动态规划
  • • 思路和算法
    • 具体例子
  • 二、一维动态规划
• 代码

题目：221. 最大正方形

221. 最大正方形
在一个由 ‘0’ 和 ‘1’ 组成的二维矩阵内，找到只包含 ‘1’ 的最大正方形，并返回其面积。

示例 1：

输入：matrix = [[“1”,“0”,“1”,“0”,“0”],[“1”,“0”,“1”,“1”,“1”],[“1”,“1”,“1”,“1”,“1”],[“1”,“0”,“0”,“1”,“0”]]
输出：4

示例 2：

输入：matrix = [[“0”,“1”],[“1”,“0”]]
输出：1

示例 3：

输入：matrix = [[“0”]]
输出：0

提示：

• m == matrix.length
• n == matrix[i].length
• 1 <= m, n <= 30
• matrix[i][j]为'0' 或'1'

解题思路

一、二维动态规划

思路和算法

创建一个二维数组dp,dp[i][j]表示以matrix[i][j]为右下角，且只包含1的正方形的边长的最大值，如果能计算出所有dp的值，那么最大的正方形面积就为max(dp[i][j])的平方。

• 如果matrix[i][j] = 0，那么dp[i][j] = 0
• 如果matrix[i][j] = 1，如图三个正方形
  • 蓝色正方形的边长为4，下标dp[i - 1][j - 1]
  • 绿色正方形的边长为2，下标dp[i - 1][j]
  • 黄色正方形的边长为3，下标dp[i][j-1]

而上图的dp[i][j] = 3取决于左上方、上方、左方的三个dp中的最小值再加1。
状态转移方程：
d p [ i ] [ j ] = m i n ( d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] , d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − 1 ] ) + 1 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1 dp[i][j]=min(dp[i−1][j−1],dp[i−1][j],dp[i][j−1])+1

• 绿色正方形(dp[i - 1][j])表示：可以为以dp[i][j]为右下角的正方形的右边提供边长为2的边。
• 黄色正方形(dp[i][j - 1])表示：可以为以dp[i][j]为右下角的正方形的下边提供边长为3的边。
• 蓝色正方形(dp[i - 1][j - 1])表示：可以为以dp[i][j]为右下角的正方形的左边和上边提供边长为4的边。
• 取三者中的最小值 ( m i n ( d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] , d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − 1 ] ) ) (min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])) (min(dp[i−1][j−1],dp[i−1][j],dp[i][j−1]))是因为根据木桶原理，我们只能取最短的一个边来作为dp[i][j]表示的最大的正方形的边。
• 加上matrix[i][j]本身的这个正方形的边长1，就得到了以dp[i][j]为右下角最大的正方形的边长。

具体例子

给出一个M = 4, N = 5的matrix，我们可以创建一个如下的二维dp数组

• 绿色表示哨兵，我们不需要对这些dp进行计算。
• 灰色方格表示当前正在计算的dp[i][j]。
• 黄色方格是计算dp[i][j]所依赖的dp[i - 1][j - 1]，dp[i - 1][j]，dp[i][j - 1]。

根据状态转移方程我们可以算出
d p [ 3 ] [ 4 ] = m i n ( d p [ 2 ] [ 3 ] dp[3][4] = min(dp[2][3] dp[3][4]=min(dp[2][3], d p [ 2 ] [ 4 ] , d p [ 3 ] [ 3 ] ) + 1 = 2 dp[2][4], dp[3][3]) + 1 = 2 dp[2][4],dp[3][3])+1=2，同理 d p [ 3 ] [ 5 ] = 2 dp[3][5]=2 dp[3][5]=2， d p [ 4 ] [ 4 ] = 2 dp[4][4]=2 dp[4][4]=2。
d p [ 4 ] [ 5 ] = m i n ( d p [ 4 ] [ 4 ] , d p [ 3 ] [ 4 ] , d p [ 3 ] [ 5 ] ) + 1 = 3 dp[4][5] = min(dp[4][4], dp[3][4], dp[3][5]) + 1 = 3 dp[4][5]=min(dp[4][4],dp[3][4],dp[3][5])+1=3

二、一维动态规划

dp[i][j]总是以从左到右，从上到下的方向来计算的，所以我们可以对二维数组进行化简变成一维数组，只需要一个prev变量来临时存储dp[i][j - 1]。

状态转移方程就变为了 d p [ j ] = m i n ( d p [ j − 1 ] , d p [ j ] , p r e v ) + 1 dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j], prev) + 1 dp[j]=min(dp[j−1],dp[j],prev)+1。

• dp[j - 1]表示二维数组中的dp[i - 1][j - 1]。
• dp[j]表示二维数组中的dp[i - 1][j]。
• prev 表示二维数组中的dp[i][j - 1]。

代码

class Solution {
public:
    int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
        int N = matrix.size();
        int M = matrix[0].size();
        int res = 0;
        vector<vector<int>> dp(N, vector<int>(M, 0));
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            for (int j = 0; j < M; j++) {
                if (i == 0 || j == 0) dp[i][j] = matrix[i][j]-'0';
                else if (matrix[i][j] == '1')
                    dp[i][j] = (min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])) + 1);

                res = max(res ,dp[i][j]);
            }
        }
        return res*res;
    }
};